Mathématiques · 4e · Statistiques et probabilités
Décrire les issues et les évènements avec des ensembles
Au programme de 4e : Décrire une expérience avec des ensembles
Environ 20 min
Comprendre
Pour décrire une expérience aléatoire, on rassemble ses résultats possibles dans des ensembles. Ces ensembles permettent de préciser quels résultats réalisent un évènement et d’utiliser les symboles ∈, ∉, ⊂ et ⊄.
En tableau
| Univers | Évènement | Appartenance | Inclusion |
|---|---|---|---|
| Ω = {L, M, N, P} | V = {L, M, P} | L ∈ V et N ∉ V | V ⊂ Ω |
- Univers : Ω = {L, M, N, P}
- Évènement
- V = {L, M, P}
- Appartenance
- L ∈ V et N ∉ V
- Inclusion
- V ⊂ Ω
Le cours
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles, sans pouvoir prévoir avec certitude celui qui sera obtenu. Chaque résultat possible est appelé une issue. L’univers, généralement noté Ω et lu « oméga », est l’ensemble de toutes les issues possibles. Il dépend de ce que l’on observe : pour un tirage, on peut par exemple relever la couleur du jeton ou son numéro.
Un ensemble s’écrit entre accolades, en séparant ses éléments par des points-virgules. L’ordre des éléments n’a pas d’importance et chaque élément n’est écrit qu’une fois. Pour écrire l’univers, on doit donc recenser toutes les issues possibles, sans en oublier ni en ajouter.
Un évènement est un ensemble d’issues de l’univers. Pour le décrire, on rassemble exactement les issues qui respectent la condition annoncée. L’évènement est réalisé lorsque l’issue obtenue appartient à cet ensemble. Un évènement qui contient une seule issue est dit élémentaire. L’évènement impossible ne contient aucune issue : c’est l’ensemble vide, noté ∅. L’évènement certain contient toutes les issues : c’est l’univers Ω.
Pour relier une issue à un ensemble, on utilise l’appartenance : x ∈ A signifie « l’issue x appartient à l’évènement A » ; x ∉ A signifie « l’issue x n’appartient pas à l’évènement A ». Si l’issue obtenue appartient à A, alors A est réalisé ; sinon, A n’est pas réalisé.
Pour comparer des ensembles, on utilise l’inclusion : A ⊂ B signifie que chaque élément de A appartient aussi à B. Ici, le symbole ⊂ autorise aussi le cas où les ensembles sont égaux. Pour montrer que A ⊄ B, il suffit de trouver un élément de A qui n’appartient pas à B. Tout évènement est inclus dans l’univers. Attention : une issue appartient à un ensemble, tandis qu’un ensemble est inclus dans un autre ensemble.
Un exempleDes exemples
On tire au hasard un jeton et on relève son numéro. Les numéros possibles forment l’univers Ω = {17, 23, 29, 31}. Combien cet univers contient-il d’issues ?
L’univers Ω = {17, 23, 29, 31} rassemble tous les numéros que l’on peut obtenir. On compte chaque élément une seule fois : cet univers contient 4 issues.
Lors d’un tirage de jeton, l’évènement A est décrit par A = {23, 31}. On obtient le numéro 23. Complète « 23 … A » avec le symbole d’appartenance adapté et indique si A est réalisé.
Le numéro 23 figure dans l’ensemble {23, 31}. On écrit donc 23 ∈ A : l’évènement A est réalisé.
Une roue donne une lettre. L’évènement B est décrit par B = {A, E, I}. La lettre obtenue est C. Complète « C … B » avec le symbole d’appartenance adapté et indique si B est réalisé.
La lettre C ne figure pas dans l’ensemble {A, E, I}. On écrit donc C ∉ B : l’évènement B n’est pas réalisé.
On tire un jeton dans une urne dont l’univers est Ω = {17, 23, 29, 31}. On définit A = {17, 31}. Complète « A … Ω » avec le symbole d’inclusion adapté.
Chaque numéro de A = {17, 31} figure aussi dans Ω = {17, 23, 29, 31}. On écrit donc A ⊂ Ω. L’ensemble A peut bien décrire un évènement de cette expérience.
Démonstration et exemple résolu
RegardeTu fais tourner une roue dont les secteurs portent les lettres A, B et C : l’univers est Ω = {A, B, C}, car il rassemble toutes les issues possibles. L’évènement « obtenir une voyelle » est E = {A} : A ∈ E signifie que l’issue A appartient à E, et E ⊂ Ω signifie que toutes les issues de E appartiennent à l’univers.
Un sac contient des jetons marqués L, M, N et P. Tu tires un jeton et tu lis sa lettre. Écris l’univers Ω et l’évènement V « obtenir une lettre du mot LAMPE », puis complète les relations L … V, N … V et V … Ω.
- Écris Ω = {L, M, N, P}.L’univers rassemble toutes les issues possibles de cette expérience : ici, les lettres que tu peux lire sur le jeton tiré.
- Écris V = {L, M, P}.Tu gardes seulement les issues de l’univers qui sont des lettres du mot LAMPE. A et E ne sont pas sur les jetons : tu ne les ajoutes pas.
- Écris L ∈ V et N ∉ V.L figure dans l’ensemble V, mais N n’y figure pas. Les symboles ∈ et ∉ relient ici une issue à un ensemble.
- Écris V ⊂ Ω.Chaque issue de V appartient aussi à Ω. Le symbole ⊂ relie un ensemble à un autre ensemble.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Ajouter à un évènement une issue qui n’est pas dans l’univers.
Comment l'éviter : Repars de Ω et sélectionne seulement les issues qui respectent la condition. Un évènement est toujours inclus dans l’univers.
Erreur : Utiliser ⊂ pour relier une issue à un ensemble.
Comment l'éviter : Regarde à gauche du symbole : une issue seule appelle ∈ ou ∉ ; un ensemble comparé à un autre appelle ⊂ ou ⊄.
Erreur : Refuser une inclusion parce que le second ensemble contient davantage d’issues.
Comment l'éviter : Teste uniquement les éléments du premier ensemble. S’ils sont tous dans le second, l’inclusion est vraie, même si le second contient d’autres éléments.
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| Univers | Évènement | Appartenance | Inclusion |
|---|---|---|---|
| Ω = {L, M, N, P} | V = {L, M, P} | L ∈ V et N ∉ V | V ⊂ Ω |
- Univers : Ω = {L, M, N, P}
- Évènement
- V = {L, M, P}
- Appartenance
- L ∈ V et N ∉ V
- Inclusion
- V ⊂ Ω
Dessine un grand cadre nommé Ω et place dedans toutes les issues, chacune une seule fois. Pour représenter un évènement E, entoure les issues qui respectent sa description. Une issue entourée appartient à E ; toutes les issues entourées restent dans Ω, donc E ⊂ Ω.
Ce dessin convient aux univers qui contiennent peu d’issues. Un évènement ne peut jamais contenir une issue située hors de l’univers.
| Univers | Évènement | Appartenance | Inclusion |
|---|---|---|---|
| Ω = {L, M, N, P} | V = {L, M, P} | L ∈ V et N ∉ V | V ⊂ Ω |
- Univers : Ω = {L, M, N, P}
- Évènement
- V = {L, M, P}
- Appartenance
- L ∈ V et N ∉ V
- Inclusion
- V ⊂ Ω
Écris chaque issue possible sur une carte différente. Toutes tes cartes forment l’univers. Lis la condition de l’évènement et déplace les cartes qui la respectent dans une zone E. Lis ensuite les cartes de cette zone pour écrire E entre accolades. Les cartes restées à l’extérieur de E forment l’évènement contraire.
Une carte représente une issue, pas forcément un objet. Si plusieurs objets portent la même lettre et que tu observes seulement la lettre obtenue, tu n’écris cette lettre qu’une fois dans l’univers.
Si tu compares une issue à un ensemble, cherche si cette issue figure dans la liste : utilise ∈ ou ∉. Si tu compares un ensemble à un autre, vérifie chaque élément du premier : utilise ⊂ si tous appartiennent au second, et ⊄ dès qu’un élément manque. Ici, ⊂ signifie « est inclus dans », y compris lorsque les ensembles sont égaux.
Dans les expériences étudiées ici, les issues sont des nombres, des lettres ou des mots, et non des ensembles. Ne confonds pas une issue avec l’ensemble qui la contient.
Il te manque peut-être une notion d'avant :Expérience aléatoire, issue, évènement : les distinguerRevoir les bases pas à pas
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- Une série en paliersDécouverte, confirmé, expert : corrigée tout de suite
- Calcul mentalUn rituel de 3 à 5 minutes, sans chrono imposé
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
Retenir
À retenir
- L’univers Ω rassemble toutes les issues possibles de l’expérience.
- Un évènement est un ensemble d’issues de l’univers.
- Un évènement est réalisé si l’issue obtenue lui appartient.
- ∈ et ∉ relient une issue à un ensemble ; ⊂ et ⊄ comparent des ensembles.
- Pour vérifier une inclusion, on examine chaque élément de l’ensemble de départ.
- ∅ est l’évènement impossible ; Ω est l’évènement certain.
Les mots de la leçon
- Expérience aléatoire
- Expérience dont on connaît les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat.
- Issue
- Résultat possible d’une expérience aléatoire.
- Univers
- Ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience, généralement noté Ω.
- Évènement
- Ensemble d’issues d’une expérience aléatoire.
- Appartenance
- Relation entre un élément et un ensemble qui le contient, notée ∈.
- Inclusion
- Relation entre des ensembles : un ensemble est inclus dans un autre lorsque tous ses éléments appartiennent à cet autre ensemble.
- Ensemble vide
- Ensemble qui ne contient aucun élément, noté ∅.