Analyser les chances de réussite dans un jeu simple

Analyser un jeu de hasard permet de déterminer ses chances de gagner et de comparer des règles de jeu. Pour cela, on décrit les résultats possibles, on repère ceux qui font gagner et on calcule leur probabilité.

Le cours

1. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles, sans pouvoir prévoir avec certitude celui qui se produira. Chaque résultat possible s’appelle une issue. Pour étudier un jeu, il faut d’abord préciser son déroulement et dresser la liste de ses issues, sans oubli ni répétition.

2. Un évènement est un ensemble d’issues. L’évènement gagnant rassemble toutes les issues qui respectent la règle de victoire : ce sont les issues favorables. Par exemple, si l’on gagne en obtenant une face marquée d’une étoile, toutes les faces portant une étoile sont favorables.

3. Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, on parle d’équiprobabilité. C’est le cas des faces d’un dé équilibré ou des jetons d’un sac bien mélangé lorsqu’ils sont indiscernables au toucher. Attention : les couleurs ne sont pas forcément équiprobables si elles ne sont pas présentes en quantités égales.

4. En situation d’équiprobabilité, on calcule : probabilité de gagner = nombre d’issues favorables / nombre total d’issues. On peut laisser le résultat sous forme de fraction, en la simplifiant si possible. Si plusieurs catégories permettent de gagner, on additionne leurs effectifs, sans compter une même issue plusieurs fois.

5. Une probabilité est comprise entre 0 et 1. Un évènement impossible a une probabilité égale à 0 ; un évènement certain a une probabilité égale à 1. Plus la probabilité de gagner est grande, plus les chances de réussite sont élevées, mais une victoire n’est pas garantie. Si chaque issue conduit soit à gagner, soit à perdre, alors la probabilité de perdre vaut 1 moins la probabilité de gagner.

Des exemples

• Un sac contient 17 jetons indiscernables au toucher : 4 rouges, 6 verts et les autres gris. Après mélange, on tire au hasard un jeton. On gagne si le jeton est rouge ou vert. Quelle est la probabilité de gagner ?

  Les jetons constituent les issues et sont équiprobables. Les issues favorables sont les jetons rouges et les jetons verts. La probabilité de tirer un jeton rouge est 4/17 et celle de tirer un jeton vert est 6/17. Ces catégories sont distinctes : on additionne donc leurs probabilités. La probabilité de gagner est 4/17 + 6/17 = 10/17.

• Une roue est partagée en 23 secteurs de même taille. Parmi eux, 5 portent une étoile, 7 portent une lune et les autres portent un nuage. On fait tourner la roue dans des conditions où chaque secteur a la même chance d’être désigné. On gagne avec une étoile ou une lune. Quelle est la probabilité de gagner ?

  Les issues à compter sont les secteurs, et non les différents symboles : les symboles ne sont pas présents en quantités égales. La probabilité d’obtenir une étoile est 5/23 et celle d’obtenir une lune est 7/23. Aucun secteur ne porte les deux symboles. La probabilité de gagner est donc 5/23 + 7/23 = 12/23.