Construire le complémentaire, la réunion et l’intersection

On utilise le complémentaire, la réunion et l’intersection pour décrire des évènements à partir d’autres évènements. Ces notions permettent de préciser quelles issues d’une expérience conviennent et de les représenter sur un schéma.

Le cours

1. L’univers, noté Ω, est l’ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire. Un évènement est un ensemble d’issues : il se réalise lorsque l’issue obtenue appartient à cet ensemble. Pour représenter des évènements, on peut dessiner un rectangle pour l’univers et des zones à l’intérieur pour les évènements.

2. Le complémentaire d’un évènement A, noté Ā, contient toutes les issues de l’univers qui n’appartiennent pas à A. Il correspond à « A ne se réalise pas ». Pour le construire, on sélectionne toutes les issues situées en dehors de A, mais toujours dans l’univers. Sur un schéma, on colorie toute la partie du rectangle extérieure à la zone A.

3. L’intersection de deux évènements A et B, notée A ∩ B, contient les issues qui appartiennent à la fois à A et à B. Elle correspond à « A et B se réalisent ». Pour la construire, on conserve uniquement les issues communes aux deux évènements. Sur un schéma, on colorie seulement la partie où leurs zones se recouvrent.

4. La réunion de deux évènements A et B, notée A ∪ B, contient les issues qui appartiennent à A, à B ou aux deux. Elle correspond à « au moins l’un des évènements A ou B se réalise ». Pour la construire, on rassemble les issues des deux évènements, sans écrire deux fois une issue commune. Sur un schéma, on colorie les deux zones, y compris leur partie commune.

5. L’ensemble vide, noté ∅, ne contient aucune issue : c’est l’évènement impossible. Si A et B n’ont aucune issue commune, alors A ∩ B = ∅ ; on dit que ces évènements sont incompatibles. Un évènement et son complémentaire n’ont jamais d’issue commune et couvrent ensemble tout l’univers : A ∩ Ā = ∅ et A ∪ Ā = Ω.

Des exemples

• Un sac contient 37 jetons, dont 14 sont rouges. On tire un jeton. On appelle A l’évènement « obtenir un jeton rouge ». Décris le complémentaire de A et détermine combien de jetons lui correspondent.

  Le complémentaire de A est « obtenir un jeton qui n’est pas rouge ». On conserve tous les jetons du sac sauf les rouges. Il correspond donc à 37 − 14 = 23 jetons. Sur un schéma, on colorierait l’extérieur de la zone A, à l’intérieur du rectangle représentant le sac.

• Un sac contient des jetons d’une seule couleur chacun : 11 sont verts et 18 sont jaunes. On tire un jeton. On appelle A l’évènement « obtenir un jeton vert » et B l’évènement « obtenir un jeton jaune ». Décris A ∪ B et détermine combien de jetons lui correspondent.

  A ∪ B est l’évènement « obtenir un jeton vert ou jaune ». Aucun jeton n’est à la fois vert et jaune : A ∩ B = ∅. Les évènements sont incompatibles, donc on peut additionner directement leurs nombres de jetons : 11 + 18 = 29.

• On tire une carte dans un jeu. On appelle A l’évènement « obtenir une carte bleue » et B l’évènement « obtenir une carte portant une étoile ». Parmi les 26 cartes bleues, 17 ne portent pas d’étoile. Décris A ∩ B et détermine combien de cartes lui correspondent.

  A ∩ B est l’évènement « obtenir une carte bleue portant une étoile ». On part des 26 cartes bleues et on retire les 17 cartes bleues sans étoile : 26 − 17 = 9. Sur un schéma, ces cartes se placent dans la partie commune aux zones A et B.