Mathématiques · 3e · Calcul littéral
Résoudre une équation : chercher puis vérifier les solutions
Au programme de 3e : Résoudre une équation par analyse puis synthèse
Environ 25 min
Comprendre
Résoudre une équation par analyse puis synthèse permet de trouver toutes ses solutions sans retenir de valeur qui ne convient pas. Cette démarche est particulièrement utile lorsque les calculs peuvent faire apparaître des valeurs interdites ou des valeurs qui ne vérifient pas l’équation de départ.
En barres
? = 12 − 7 = 5
Le cours
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’égalité est vraie. Avant de commencer, on repère les éventuelles valeurs interdites : par exemple, un dénominateur ne peut pas être nul.
L’analyse commence ainsi : « Supposons que x soit une solution de l’équation. » On utilise alors l’égalité pour obtenir des conditions que x doit nécessairement respecter. On effectue les calculs utiles pour dégager toutes les valeurs possibles, appelées valeurs candidates.
Pendant l’analyse, on ne doit pas perdre de solution. On peut ajouter ou soustraire une même expression aux deux membres, ou les multiplier ou les diviser par un même nombre non nul. Avant de diviser par une expression contenant x, il faut examiner le cas où cette expression est nulle. Certaines transformations, comme élever les deux membres au carré, peuvent aussi faire apparaître des valeurs candidates qui ne seront pas des solutions.
La synthèse consiste à reprendre chaque valeur candidate et à la vérifier dans l’équation initiale, et non seulement dans une équation obtenue pendant les calculs. On vérifie d’abord que les expressions sont définies, puis on calcule séparément les deux membres. On garde la valeur seulement si l’égalité est vraie.
On conclut en donnant l’ensemble des solutions, noté S, entre accolades. Si aucune valeur candidate ne convient, on écrit S = ∅. Si l’analyse a envisagé toutes les possibilités et que la synthèse a vérifié chaque candidate, la résolution est complète.
Un exempleDes exemples
Résoudre par analyse puis synthèse l’équation 7x + 8 = 3x + 44.
Analyse : supposons que x soit une solution. En soustrayant 3x et 8 aux deux membres, on obtient (7 − 3)x = 44 − 8. Comme 7 − 3 est non nul, on peut diviser par ce nombre : x = (44 − 8)/(7 − 3) = 9. Synthèse : on remplace x par 9 dans l’équation initiale. Le membre de gauche vaut 7 × 9 + 8 et celui de droite vaut 3 × 9 + 44 ; le calcul donne la même valeur. La candidate convient. L’ensemble S contient donc uniquement 9.
Résoudre par analyse puis synthèse l’équation x² = 13².
Analyse : supposons que x soit une solution. Deux nombres ayant le même carré sont égaux ou opposés. Les seules valeurs candidates sont donc 13 et −13. Synthèse : pour x = 13, chaque membre vaut 169. Pour x = −13, le membre de gauche vaut (−13)² = 169, et le membre de droite vaut également 169. Les deux candidates conviennent. L’ensemble S contient donc −13 et 13.
Résoudre par analyse puis synthèse l’équation (7x + 11)/(x − 11) = (5x + 33)/(x − 11).
La valeur 11 est interdite, car elle annule le dénominateur. Analyse : supposons que x soit une solution ; x est donc différent de 11. On peut multiplier les deux membres par x − 11, qui est non nul. On obtient 7x + 11 = 5x + 33, puis (7 − 5)x = 33 − 11. La seule valeur candidate issue du calcul est x = 11. Synthèse : cette candidate est égale à 11. Dans l’équation initiale, elle rend les dénominateurs nuls : les quotients ne sont pas définis. Elle est donc rejetée. Aucune valeur ne convient et S = ∅.
Démonstration et exemple résolu
RegardePour résoudre x + 7 = 12, suppose d’abord que x convient : il doit alors valoir 12 − 7. Remplace ensuite x par cette expression dans l’équation de départ : (12 − 7) + 7 = 12, donc la valeur candidate convient.
Résous l’équation x + 7 = 12 par analyse puis synthèse.
- Analyse : supposons que x soit une solution de x + 7 = 12.On part de l’idée que l’égalité est vraie pour chercher ce que x doit nécessairement valoir.
- En retirant 7 à chaque membre, on obtient x = 12 − 7.Toute solution doit donc être égale à cette valeur. C’est notre seule candidate.
- Synthèse : remplaçons x par 12 − 7 dans l’équation initiale. Le membre de gauche devient (12 − 7) + 7, qui est bien égal à 12.La vérification dans l’équation de départ confirme que la candidate est une solution.
- L’ensemble des solutions est S = {12 − 7}.L’analyse n’a laissé qu’une candidate et la synthèse a confirmé qu’elle convient.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Conclure dès qu’une valeur candidate apparaît.
Comment l'éviter : Tu as trouvé une candidate. Reprends maintenant l’équation de départ et remplace x par cette valeur avant de conclure.
Erreur : Vérifier seulement dans la dernière égalité obtenue.
Comment l'éviter : Ton contrôle porte sur une équation transformée. Refais-le dans l’équation initiale, en regardant aussi les dénominateurs.
Erreur : Changer un terme de membre sans contrôler son signe.
Comment l'éviter : Écris l’opération effectuée sur chacun des deux membres. Cela t’aidera à conserver l’égalité et à suivre les signes.
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? = 12 − 7 = 5
Dessine une balance pour représenter l’équation : chaque membre occupe un plateau. Le premier trajet sert à chercher une solution : retire ou ajoute la même quantité des deux côtés pour isoler x. Tu trouves ainsi une candidate. Pour la contrôler, fais un second trajet : repars du dessin initial et remplace x par cette candidate. Les plateaux doivent alors représenter la même quantité.
La balance aide surtout pour les sommes et les différences. Si x apparaît dans un dénominateur, il faut aussi vérifier que ce dénominateur ne s’annule pas.
Sépare ta feuille en trois zones : « conditions de départ », « candidates », « vérification ». Note d’abord les valeurs interdites, par exemple celles qui annuleraient un dénominateur. Suppose ensuite qu’une solution existe et cherche les valeurs possibles. Pour chaque candidate, contrôle les conditions de départ puis l’égalité initiale. Une valeur obtenue par un calcul n’est pas automatiquement une solution.
Tu dois examiner toutes les candidates obtenues. Si une étape de calcul risque d’en faire disparaître, il faut étudier séparément les valeurs concernées.
? = 12 − 7 = 5
Prends une bande de papier qui représente une longueur inconnue. Imagine qu’on lui ajoute une rallonge pour atteindre une longueur connue. Pour chercher la longueur initiale, retire la rallonge : cette longueur est ta candidate. Pour la vérifier, remets la rallonge et compare avec la longueur annoncée au départ. Écris ensuite ces deux actions avec une équation : retirer aide à chercher, remettre permet de vérifier.
Cette manipulation représente des longueurs positives et des additions ou soustractions. Elle ne représente pas toutes les équations, notamment celles qui comportent des valeurs négatives ou des dénominateurs inconnus.
Il te manque peut-être une notion d'avant :Calculer une expression en remplaçant les lettresÉquation ou identité : quel rôle joue la lettre ?Revoir les bases pas à pas
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À retenir
- Avant les calculs, repérer les éventuelles valeurs interdites.
- Analyse : supposer qu’une solution existe et trouver toutes les valeurs candidates.
- Ne jamais diviser par une expression sans vérifier qu’elle est non nulle.
- Synthèse : vérifier chaque candidate dans l’équation initiale.
- Une valeur candidate n’est pas forcément une solution.
- Conclure en donnant l’ensemble S ; s’il n’y a aucune solution, écrire S = ∅.
Les mots de la leçon
- Inconnue
- Lettre qui représente une valeur à déterminer dans une équation.
- Solution d’une équation
- Valeur de l’inconnue pour laquelle les expressions de l’équation sont définies et l’égalité est vraie.
- Valeur candidate
- Valeur obtenue pendant l’analyse, qui doit encore être vérifiée dans l’équation initiale.
- Analyse-synthèse
- Raisonnement qui consiste à chercher d’abord les valeurs que pourrait prendre une solution, puis à vérifier lesquelles sont réellement des solutions.
- Ensemble des solutions
- Ensemble de toutes les valeurs qui vérifient l’équation, généralement noté S.