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Mathématiques · 3e · Calcul littéral

Démontrer la règle du produit nul et sa réciproque

Au programme de 3e : Justifier la règle du produit nul par disjonction de cas

Environ 20 min

Comprendre

La règle du produit nul permet de transformer une équation dont un membre est un produit et l’autre est zéro en plusieurs équations plus simples. Pour la justifier, on distingue les deux cas possibles pour le premier facteur, puis on démontre la réciproque.

Le cours

  1. Pour tous nombres A et B, le produit AB est nul si et seulement si A = 0 ou B = 0. Le mot « ou » signifie qu’au moins un des deux facteurs est nul : les deux peuvent aussi être nuls.

  2. Démontrons d’abord que si AB = 0, alors A = 0 ou B = 0. Supposons donc que AB = 0 et distinguons deux cas. Premier cas : A = 0. La conclusion est déjà vérifiée, puisque le premier facteur est nul.

  3. Deuxième cas : A ≠ 0. On peut alors diviser les deux membres de l’égalité AB = 0 par A. On obtient (AB)/A = 0/A, donc B = 0. Ces deux cas couvrent toutes les possibilités : si AB = 0, alors A = 0 ou B = 0.

  4. Démontrons maintenant la réciproque. Si A = 0, alors AB = 0 × B = 0. Si B = 0, alors AB = A × 0 = 0. Ainsi, si au moins un facteur est nul, le produit est nul. Les deux sens sont donc démontrés.

  5. Pour utiliser cette règle dans une équation, il faut avoir un produit égal à zéro. Par exemple, (x − 4)(x + 7) = 0 équivaut à x − 4 = 0 ou x + 7 = 0. On résout ensuite chacune de ces équations. Attention : on ne peut pas appliquer cette règle directement à une somme, ni à un produit égal à un nombre non nul.

Un exempleDes exemples

  • Calcule 0 × 37 et explique pourquoi le produit est nul.

    Le premier facteur, 0, est nul. Multiplier un nombre par un facteur nul donne un produit nul : 0 × 37 = 0. Cela illustre la réciproque de la règle.

Démonstration et exemple résolu

RegardeSoient A et B deux nombres : si AB = 0, on distingue deux cas, A = 0 ou A ≠ 0. Dans le premier cas, un facteur est déjà nul ; dans le second, on peut diviser AB = 0 par A et obtenir B = 0. Réciproquement, si A = 0 ou B = 0, alors AB = 0 : un produit est donc nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

Les lettres u et v désignent deux nombres fixés. Justifie que (x − u)(x − v) = 0 équivaut à x = u ou x = v, en distinguant deux cas, puis en vérifiant la réciproque.

  1. Supposons que (x − u)(x − v) = 0. Premier cas : x − u = 0. Alors x = u.Le premier facteur est nul : cette possibilité donne directement une solution.
  2. Second cas : x − u ≠ 0. On divise l'égalité par x − u et on obtient x − v = 0, donc x = v.La division est autorisée parce que le facteur par lequel on divise est non nul.
  3. Ces deux cas couvrent toutes les possibilités. Ainsi, toute solution vérifie x = u ou x = v.Un nombre est soit nul, soit non nul : aucun autre cas n'est à examiner.
  4. Réciproquement, si x = u, le premier facteur est nul ; si x = v, le second facteur est nul. Dans les deux situations, le produit est nul.Multiplier un nombre par zéro donne zéro. Les valeurs trouvées conviennent donc bien.

Les erreurs fréquentes

  • Erreur : Diviser AB = 0 par A sans vérifier que A est non nul.

    Comment l'éviter : Ta division a besoin d'une condition. Commence par traiter A = 0, puis effectue la division seulement dans le cas A ≠ 0.

  • Erreur : Conclure que les deux facteurs sont forcément nuls.

    Comment l'éviter : Remplace « et » par « ou ». Les deux facteurs peuvent être nuls, mais ce n'est pas obligatoire.

  • Erreur : Présenter la réciproque comme si elle démontrait aussi le sens direct.

    Comment l'éviter : Regarde ton point de départ : pour le sens direct, pars de AB = 0 ; pour la réciproque, pars de A = 0 ou B = 0.

Voir autrement

La leçon ne passe pas ? Choisis une autre façon de comprendre. Une seule s'ouvre à la fois.

S'entraîner

Je m'entraîne

Calcule 0 × 7. Puis rédige un raisonnement par disjonction de cas pour montrer quel facteur permet de prévoir ce résultat et pourquoi ce calcul illustre la réciproque de la règle du produit nul. Ce raisonnement fait partie de l’entraînement, mais il n’est pas noté : seule ta réponse numérique est notée.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

Retenir

À retenir

  • AB = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.
  • Pour démontrer le premier sens, on distingue les cas A = 0 et A ≠ 0.
  • Si A ≠ 0, on peut diviser AB = 0 par A pour obtenir B = 0.
  • La réciproque vient du fait qu’un facteur nul rend le produit nul.
  • « Ou » autorise ici que les deux facteurs soient nuls.
  • Avant d’appliquer la règle à une équation, vérifier qu’un produit est égal à zéro.

Les mots de la leçon

Facteur
Nombre ou expression que l’on multiplie par un autre. Dans AB, A et B sont les facteurs.
Produit
Résultat d’une multiplication. AB désigne le produit de A par B.
Disjonction de cas
Raisonnement qui examine séparément toutes les possibilités. Ici, A est nul ou A n’est pas nul.
Réciproque
Propriété obtenue en échangeant le point de départ et la conclusion d’une propriété. Elle doit être démontrée séparément.