Mathématiques · 3e · environ 20 min
Identifier le statut d’une lettre et d’une égalité
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine une ligne qui représente toutes les valeurs possibles de x. Pour une identité, chaque point de cette ligne convient. Pour une équation, tu recherches les points qui conviennent : selon l’équation, il peut y en avoir plusieurs, un seul ou aucun. Par exemple, x + a = a + x convient partout, tandis que x + a = b ne convient qu’au point x = b − a, lorsque a et b sont fixés.
Le dessin aide à comprendre, mais quelques points coloriés ne prouvent pas que tous les nombres conviennent. Dans cette fiche, les expressions sont définies pour tous les nombres.
Prépare des cartes portant x et une carte portant un nombre fixé a. À gauche, place les cartes dans l’ordre x, x, a ; à droite, dans l’ordre a, x, x. Les cartes de chaque côté représentent une somme. Déplace-les pour obtenir le même ordre des deux côtés : tu retrouves exactement les mêmes termes. L’égalité x + x + a = a + x + x est donc une identité, quelle que soit la valeur inscrite à la place de x.
Cette manipulation justifie un changement d’ordre ou de regroupement dans une somme. Elle ne permet pas de déplacer librement les termes d’une soustraction.
Pour prouver une identité, transforme un membre avec des règles de calcul valables pour toute valeur de la lettre, jusqu’à retrouver l’autre membre. Pour montrer qu’une égalité n’est pas une identité, une seule valeur qui la rend fausse suffit. Si l’on cherche ensuite les valeurs qui rendent cette égalité vraie, on résout une équation : la lettre joue alors le rôle d’inconnue.
Plusieurs essais réussis ne prouvent pas une identité. Une équation peut aussi n’avoir aucune solution : cela n’en fait pas une identité.
Les pièges
Décider que toute égalité contenant une lettre est une équation à résoudre.
Regarde ce qu’on cherche : une valeur particulière, ou une égalité valable pour toutes les valeurs ?
Déclarer qu’une égalité est une identité après quelques essais réussis.
Tes essais donnent une piste. Pour conclure, cherche une transformation qui fonctionne pour toute valeur de la lettre.
Confondre réduire une expression et résoudre une équation.
Repère la consigne : dois-tu écrire la même expression plus simplement, ou trouver les valeurs de la lettre ?
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Une lettre peut représenter une valeur à trouver ou un nombre quelconque. Reconnaître son rôle et le statut d’une égalité permet de savoir s’il faut chercher des solutions ou établir une propriété générale.
Le cours
Une égalité affirme que les expressions situées de part et d’autre du signe = ont la même valeur. Ces expressions sont les deux membres de l’égalité. Lorsqu’une lettre apparaît, l’égalité peut être vraie ou fausse selon la valeur donnée à cette lettre. On considère seulement les valeurs autorisées par les expressions : par exemple, un dénominateur ne doit pas être nul.
Une équation est une égalité dans laquelle on cherche les valeurs d’une lettre qui rendent l’égalité vraie. Cette lettre joue le rôle d’inconnue. Chaque valeur qui convient est une solution. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions ; une équation peut avoir une seule solution, plusieurs solutions ou aucune solution.
Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs autorisées de la lettre. La lettre joue alors le rôle d’indéterminée : elle représente un nombre quelconque, et non une valeur particulière à découvrir. Si une équation est vraie pour toutes les valeurs autorisées, c’est une identité et toutes ces valeurs sont solutions.
Pour déterminer le statut d’une égalité, on peut transformer ses membres avec les règles du calcul littéral. Tester une valeur permet seulement de savoir si l’égalité est vraie pour cette valeur. Un seul test donnant une égalité fausse suffit à montrer que ce n’est pas une identité ; en revanche, plusieurs tests donnant une égalité vraie ne prouvent pas que c’est une identité. Il faut justifier qu’elle est vraie pour toutes les valeurs autorisées.
Des exemples
On cherche les valeurs de x pour lesquelles 8x + 13 = 5x + 46. Quel rôle joue x et quel est le statut de cette égalité ?
On cherche une valeur : x joue donc le rôle d’inconnue et l’égalité est une équation. En regroupant les termes contenant x dans un membre et les termes constants dans l’autre, on obtient (8 − 5)x = 46 − 13, puis x = 11. L’égalité est vraie uniquement pour cette valeur : ce n’est pas une identité.
L’égalité 13x + 17x = (13 + 17)x est-elle vraie pour une valeur particulière de x ou pour toutes ses valeurs ?
Le membre de gauche se réduit à 30x. Le membre de droite donne exactement la même expression. Cette transformation est valable pour tout nombre x : l’égalité est une identité et x joue le rôle d’indéterminée.
On cherche les valeurs de x pour lesquelles x + 19 = x + 23. Cette équation a-t-elle une solution ? Est-ce une identité ?
La lettre x est une inconnue puisque l’on cherche les valeurs qui conviennent. En soustrayant x aux deux membres, il faudrait que 19 = 23. Or la différence 19 − 23 vaut -4 et n’est pas nulle : ces nombres sont différents. Aucune valeur de x ne rend donc l’égalité vraie. Cette équation n’a aucune solution et ce n’est pas une identité.
À retenir
- Une inconnue représente une valeur que l’on cherche.
- Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs qui rendent l’égalité vraie.
- Une identité est vraie pour toutes les valeurs autorisées de la lettre.
- Dans une identité, la lettre joue le rôle d’indéterminée.
- Quelques tests réussis ne suffisent pas à prouver une identité.
- Une équation sans solution n’est pas une identité.
Les mots de la leçon
- Inconnue
- Lettre représentant une valeur à déterminer dans une équation.
- Équation
- Égalité pour laquelle on cherche les valeurs de l’inconnue qui la rendent vraie.
- Solution
- Valeur de l’inconnue pour laquelle les deux membres d’une équation ont la même valeur.
- Indéterminée
- Lettre représentant un nombre quelconque parmi les valeurs autorisées, notamment dans une identité.
- Identité
- Égalité vraie pour toutes les valeurs autorisées des lettres qui y figurent.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUne identité, comme x + x = x × deux, est vraie pour toutes les valeurs de x : la lettre est une indéterminée. Dans une équation, on cherche les valeurs qui rendent l’égalité vraie : la lettre est une inconnue. Tester quelques valeurs peut aider à chercher, mais ne suffit pas à prouver une identité.
Les lettres a et b désignent des nombres fixés. Compare les égalités x + a = b et x + a = a + x : précise le statut de chaque égalité et le rôle de x.
- Dans x + a = b, on cherche quelle valeur donner à x.Les nombres a et b sont déjà fixés ; seule la valeur de x est à trouver.
- En soustrayant a aux deux membres, on obtient x = b − a.On conserve une égalité équivalente en effectuant la même soustraction des deux côtés.
- La première égalité est une équation et x y joue le rôle d’inconnue.Elle est vraie pour la valeur trouvée, pas pour toutes les valeurs de x.
- La seconde égalité est une identité et x y joue le rôle d’indéterminée.Changer l’ordre des termes d’une addition ne change pas la somme : cette égalité est vraie pour toute valeur de x.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Distinguer une équation d’une identité selon les valeurs pour lesquelles l’égalité est vraie, et préciser le rôle d’inconnue ou d’indéterminée joué par la lettre.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers