Résoudre une équation du premier degré ou s’y ramenant

Résoudre une équation permet de trouver les valeurs inconnues qui rendent une égalité vraie. On s’en sert pour résoudre un problème, retrouver une mesure ou déterminer à quelles conditions deux expressions sont égales.

Le cours

1. Une équation est une égalité contenant une inconnue, souvent notée x. Une solution est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vraie. Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions. Dans cette leçon, on cherche les solutions parmi les nombres réels.

2. Pour résoudre une équation du premier degré, on effectue la même opération dans les deux membres : ajouter ou soustraire un même nombre ou une même expression, puis multiplier ou diviser par un même nombre non nul. Ces transformations conservent les solutions. Pour ax + b = cx + d, on regroupe les termes en x d’un côté et les autres termes de l’autre : (a − c)x = d − b. Si a ≠ c, l’unique solution est x = (d − b)/(a − c).

3. Si l’équation contient des parenthèses, on peut d’abord développer et réduire les expressions. Après regroupement, si les termes en x disparaissent, on examine l’égalité obtenue : une égalité toujours vraie, comme 0 = 0, signifie que tous les réels sont solutions ; une égalité fausse, comme 0 = 5, signifie qu’il n’y a aucune solution. Dans tous les cas, on peut vérifier une solution en la remplaçant dans l’équation de départ.

4. Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. Ainsi, l’équation (ax + b)(cx + d) = 0 revient à résoudre ax + b = 0 ou cx + d = 0, puis à réunir les solutions obtenues. Si nécessaire, on ramène d’abord un membre à zéro et on factorise l’autre. Attention : on ne peut pas appliquer cette règle à une somme ni à un produit qui n’est pas égal à zéro. On ne divise pas non plus par une expression contenant x sans vérifier qu’elle est non nulle : on pourrait perdre une solution.

5. Pour résoudre x² = a dans les réels, on distingue trois cas, car le carré d’un réel est toujours positif ou nul. Si a < 0, il n’y a aucune solution. Si a = 0, l’unique solution est x = 0. Si a > 0, il y a exactement deux solutions : x = √a et x = −√a. Le symbole √a désigne uniquement la racine carrée positive ou nulle de a ; il ne désigne pas les deux solutions à lui seul.

Des exemples

• Résous l’équation 9x + 14 = 4x + 69.

  On soustrait 4x et 14 dans les deux membres : (9 − 4)x = 69 − 14. On divise ensuite par 9 − 4, qui est non nul : x = (69 − 14)/(9 − 4). L’unique solution est donc 11. Pour la vérifier, on remplace x par 11 dans les deux membres de l’équation de départ.

• Résous l’équation 8x + 47 = 3x + 12.

  On regroupe les termes en x à gauche et les autres termes à droite : (8 − 3)x = 12 − 47. On divise par 8 − 3 : x = (12 − 47)/(8 − 3). L’unique solution est -7. Une solution peut être négative : cela n’empêche pas l’égalité d’être vraie.

• Résous l’équation produit x(6x + 78) = 0.

  Le membre de droite est nul. Le produit est donc nul si x = 0 ou si 6x + 78 = 0. Pour résoudre cette dernière équation, on soustrait 78, puis on divise par 6 : on obtient x = -13. Les solutions de l’équation produit sont donc 0 et -13. Diviser directement l’équation de départ par x aurait fait perdre la solution 0.

• Résous dans les réels l’équation x^2 = 19^2.

  On calcule d’abord le membre de droite : 19^2 = 361. Ce nombre est strictement positif. Comme 19 et −19 ont le même carré, l’équation admet exactement deux solutions : x = 19 et x = −19.