Mathématiques · 3e · environ 15 min
Évaluer une expression littérale avec ou sans puissances
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine chaque lettre dans une case. Dans E = x² − y, remplace la case x par (−3) et la case y par (−4) : E = (−3)² − (−4). Tout ce qui se trouvait autour des cases reste à sa place, notamment le carré et le signe de soustraction.
Cette représentation aide à remplacer les lettres, mais il faut ensuite respecter l’ordre des calculs.
Écris l’expression xy sur une feuille et prépare une carte « (−3) » et une carte « (−4) ». Pose chaque carte sur la lettre correspondante, puis ajoute le signe × entre les cartes. Pour un carré, utilise deux copies de la même carte : x² devient (−3) × (−3).
Répéter une carte convient aux puissances d’exposant entier positif. Cette manipulation ne décrit pas directement les exposants nuls ou négatifs.
Compare (−5)² et −5². Dans la première écriture, les parenthèses placent le nombre négatif entier dans le carré : on multiplie (−5) par (−5). Dans la seconde, le carré porte seulement sur cinq et le signe moins reste devant. Pour remplacer une lettre par une valeur négative, les parenthèses évitent de changer l’expression.
Avec un exposant impair, ces deux placements du signe moins peuvent donner la même valeur. Il faut tout de même conserver les parenthèses lors du remplacement.
Les pièges
Remplacer une lettre négative sans mettre de parenthèses devant une puissance.
Tu as bien repéré la valeur à utiliser. Entoure maintenant toute la valeur négative de parenthèses avant de conserver la puissance.
Multiplier la valeur par l’exposant.
Réécris d’abord la puissance comme un produit de facteurs identiques. Tu pourras ensuite effectuer ce produit.
Commencer par une addition ou une soustraction alors qu’une puissance reste à calculer.
Ton remplacement peut être correct. Reprends le calcul en commençant par les puissances, puis les multiplications, et termine par les additions et les soustractions.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Évaluer une expression littérale, c’est calculer sa valeur lorsque les valeurs des lettres sont connues. Cela permet notamment d’utiliser une formule ou de vérifier un résultat pour des valeurs données.
Le cours
Une expression littérale contient des nombres, des lettres et des opérations. Pour l’évaluer, remplace chaque lettre par la valeur donnée : si une lettre apparaît plusieurs fois, remplace-la par la même valeur à chaque fois.
Lors du remplacement, écris les valeurs négatives entre parenthèses pour conserver les signes et les opérations. Pense aussi aux multiplications qui ne sont pas écrites : 4x signifie 4 × x et ab signifie a × b. Ainsi, pour x = −3, l’expression 4x devient 4 × (−3).
Respecte les priorités de calcul : effectue les calculs à l’intérieur des parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et les divisions, et enfin les additions et les soustractions. Les multiplications et les divisions se traitent de gauche à droite ; il en va de même pour les additions et les soustractions.
Dans une puissance, l’exposant porte uniquement sur la base indiquée. Ainsi, pour x = −3, x² devient (−3)² = 9, tandis que −x² devient −((−3)²) = −9. Une base négative élevée à un exposant entier positif donne un résultat positif si l’exposant est pair, et négatif s’il est impair. Pour une base non nulle, un exposant négatif indique un inverse : par exemple, 2⁻³ = 1/(2³) = 1/8.
Présente les étapes avec des égalités et conserve tous les termes qui ne sont pas encore calculés. Par exemple, pour A = 3x² − 2y avec x = −2 et y = 5 : A = 3 × (−2)² − 2 × 5 = 3 × 4 − 10 = 12 − 10 = 2. La valeur d’une expression dépend des valeurs choisies pour les lettres.
Des exemples
Calcule A = 7x pour x = -6.
La multiplication entre le coefficient et la lettre est sous-entendue. On remplace x par sa valeur négative, entre parenthèses : A = 7 × (-6) = -42.
Calcule B = x^2 pour x = -8.
On remplace x en plaçant la valeur négative entre parenthèses : B = (-8)^2. L’exposant est pair, donc le résultat est positif : B = 64.
Calcule C = x^3 pour x = -5.
Après remplacement, C = (-5)^3 = (-5) × (-5) × (-5). L’exposant est impair et la base est négative, donc le résultat est négatif : C = -125.
À retenir
- Remplace toutes les lettres par leurs valeurs, sans changer les opérations.
- Entoure les valeurs négatives de parenthèses lors du remplacement.
- Une lettre accolée à un nombre indique une multiplication.
- Calcule les puissances avant les multiplications et les additions.
- Distingue le carré d’un nombre et l’opposé de son carré.
- Garde tous les termes à chaque étape du calcul.
Les mots de la leçon
- Expression littérale
- Expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres.
- Évaluer une expression
- Calculer la valeur d’une expression en remplaçant ses lettres par les valeurs données.
- Base et exposant
- Dans une puissance, la base est le nombre élevé à la puissance. Lorsque l’exposant est un entier positif, il indique combien de fois la base est utilisée comme facteur.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeÉvaluer une expression, c’est remplacer chaque lettre par sa valeur, puis calculer. Si x vaut −3, le carré de x s’écrit (−3)² : les parenthèses montrent que le signe moins fait partie de la valeur remplacée. Calcule les puissances avant les multiplications, puis les additions et les soustractions.
Évalue P = xy pour x = −3 et y = −4.
- P = (−3) × (−4).Chaque lettre est remplacée par sa valeur entre parenthèses. Deux lettres côte à côte indiquent une multiplication.
- P = +(3 × 4).Le produit de deux nombres négatifs est positif.
- Pour terminer, calcule quatre groupes de trois et conserve le signe positif.Les lettres ont disparu : il reste une multiplication de nombres positifs.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Remplacer les lettres par les valeurs données et calculer une expression comportant éventuellement des puissances, en utilisant des parenthèses pour les valeurs négatives.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers