Mathématiques · CM2 · Division
Trouver les diviseurs communs à deux nombres jusqu’à 30
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Comprendre
Chercher les diviseurs communs à deux nombres permet de trouver les tailles de groupes qui conviennent pour deux quantités différentes. On s’en sert, par exemple, pour préparer des paquets identiques sans laisser d’objet de côté.
Sur la droite
Le cours
Un diviseur d’un nombre entier est un nombre entier non nul qui le divise sans reste. Par exemple, 4 est un diviseur de 20, car 20 = 4 × 5. En revanche, 3 n’est pas un diviseur de 20, car la division laisse un reste.
Un diviseur commun à deux nombres est un nombre qui divise chacun d’eux sans reste. Pour trouver tous les diviseurs communs, écris les diviseurs du premier nombre, puis ceux du second. Relève ensuite les nombres présents dans les deux listes.
Pour dresser une liste sans oubli, cherche les multiplications qui donnent le nombre. Pour 12 : 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4. Chaque multiplication donne des diviseurs. En les rangeant du plus petit au plus grand, on obtient : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Cherchons les diviseurs communs à 12 et à 18. Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Ceux de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Les nombres présents dans les deux listes sont 1, 2, 3 et 6 : ce sont tous leurs diviseurs communs.
Le nombre 1 divise tous les nombres entiers : il est donc toujours commun aux deux listes. Parfois, c’est leur seul diviseur commun. Le nombre 0 n’est jamais un diviseur, car on ne peut pas diviser par 0.
Un exempleDes exemples
Pour chercher les diviseurs communs à 28 et à 7, vérifie si 7 peut figurer dans la liste commune.
On effectue la division de 28 par 7 : 4 reste 0. Le reste est nul : 7 divise donc 28. Comme 7 se divise aussi lui-même sans reste, il est bien un diviseur commun aux deux nombres. Pour obtenir la liste complète, il faut encore chercher les autres diviseurs de chaque nombre et comparer les listes.
Pour chercher les diviseurs communs à 25 et à 10, vérifie si 10 peut figurer dans la liste commune.
On effectue la division de 25 par 10 : 2 reste 5. Le reste n’est pas nul : 10 ne divise pas 25 sans reste. Même si 10 est un diviseur de lui-même, il n’est donc pas un diviseur commun aux deux nombres. Un nombre doit appartenir aux deux listes pour être retenu.
Exemples résolus
RegardeUn diviseur partage un nombre sans laisser de reste : avec 10 jetons, tu peux faire des paquets de 5, et avec 15 jetons aussi. Ainsi, 5 est un diviseur commun à 10 et à 15. Pour les trouver tous, cherche les diviseurs de chaque nombre, puis garde ceux qui apparaissent dans les deux listes.
Trouve tous les diviseurs communs à 16 et à 24.
- Cherche les multiplications qui donnent 16 : 1 × 16, 2 × 8 et 4 × 4.Chaque facteur de ces multiplications divise 16 sans reste.
- Écris les diviseurs de 16 dans l’ordre : 1, 2, 4, 8, 16.Une liste ordonnée permet de vérifier plus facilement qu’aucun diviseur ne manque.
- Cherche les multiplications qui donnent 24 : 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8 et 4 × 6. Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.Tu disposes maintenant des deux listes à comparer.
- Garde les nombres présents dans les deux listes : 1, 2, 4 et 8.Chacun de ces nombres divise à la fois 16 et 24 sans reste.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Confondre un diviseur commun avec un multiple commun.
Comment l'éviter : Demande-toi : ce nombre peut-il partager chacun des nombres de départ sans reste ? Un diviseur ne dépasse pas le nombre qu’il divise.
Erreur : Garder un nombre qui divise seulement l’un des deux nombres.
Comment l'éviter : Tu as trouvé un diviseur du premier nombre. Vérifie maintenant le second : pour être commun, il doit fonctionner avec les deux.
Erreur : Oublier un ou plusieurs diviseurs communs.
Comment l'éviter : Reprends les diviseurs du plus petit nombre dans l’ordre. Teste-les tous sur l’autre nombre, sans oublier le nombre un.
Voir autrement
La leçon ne passe pas ? Choisis une autre façon de comprendre. Une seule s'ouvre à la fois.
Trace deux colonnes, une pour chaque nombre. Dans chaque colonne, écris les diviseurs du plus petit au plus grand. Relie les nombres identiques d’une colonne à l’autre. Recopie chaque nombre relié une seule fois : tu obtiens les diviseurs communs.
Cette méthode fonctionne pour tous les nombres de la leçon, mais les deux listes doivent être complètes. Un nombre présent dans une seule colonne ne convient pas.
Prépare un tas de jetons pour chaque nombre, sans mélanger les tas. Choisis une taille de paquet. Essaie de ranger chaque tas en paquets de cette taille. Si aucun jeton ne reste dans aucun des tas, cette taille est un diviseur commun. Recommence avec les autres tailles possibles.
Les paquets doivent tous avoir la même taille dans les deux tas. Pour trouver toutes les possibilités, teste les tailles depuis 1 jusqu’au plus petit des deux nombres.
2 dizaines pour 7 parts : pas assez pour en donner une à chacune.
Commence par trouver tous les diviseurs du plus petit nombre. Teste ensuite chacun d’eux sur le plus grand nombre avec une division. Garde seulement ceux qui donnent un reste nul. Tu n’as pas besoin de tester les autres nombres : ils ne divisent déjà pas le plus petit.
Le reste doit être nul : un quotient entier accompagné d’un reste ne suffit pas. Le nombre 1 convient toujours, mais le plus petit des deux nombres ne convient pas forcément.
Il te manque peut-être une notion d'avant :Trouver tous les diviseurs d’un nombre jusqu’à 30Revoir les bases pas à pas
S'entraîner
Je m'entraîne
- Une série en paliersDécouverte, confirmé, expert : corrigée tout de suite
- Calcul mentalUn rituel de 3 à 5 minutes, sans chrono imposé
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
Retenir
À retenir
- Un diviseur partage un nombre sans laisser de reste.
- Écris tous les diviseurs de chacun des deux nombres.
- Garde uniquement les nombres présents dans les deux listes.
- Range les diviseurs communs du plus petit au plus grand, sans répétition.
- 1 est toujours un diviseur commun ; 0 n’est jamais un diviseur.
Les mots de la leçon
- Diviseur
- Nombre entier non nul qui divise un autre nombre entier sans reste.
- Diviseur commun
- Nombre qui est un diviseur de chacun des deux nombres étudiés.