Mathématiques · CM2 · environ 15 min
Trouver tous les diviseurs d’un nombre jusqu’à 30
Il aide de savoir :Vérifier si un nombre de 1 à 10 est un diviseur
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine vingt petits carreaux. Dessine tous les rectangles pleins que tu peux former avec ces carreaux, sans trou : une ligne de vingt, deux lignes de dix, puis quatre lignes de cinq. Les nombres de lignes et de colonnes donnent les diviseurs de vingt. Un rectangle tourné ne donne pas de nouveaux diviseurs.
Cette méthode convient aux nombres de la fiche. Il faut chercher tous les rectangles possibles, pas seulement celui qui vient immédiatement à l'esprit.
Écris les nombres depuis un jusqu'au nombre étudié. Teste-les dans l'ordre : peux-tu diviser le nombre étudié par celui que tu testes sans laisser de reste ? Si oui, entoure-le ; sinon, barre-le. À la fin, recopie les nombres entourés dans l'ordre. Chaque candidat est testé une seule fois.
La méthode fonctionne pour tous les nombres entiers positifs de la fiche. Elle est sûre mais peut être plus longue que la recherche par couples. On ne divise jamais par zéro.
Pour vérifier une liste, mène trois contrôles. D'abord, chaque nombre proposé doit partager le nombre étudié sans reste. Ensuite, cherche les couples de multiplication pour repérer les oublis. Enfin, supprime les répétitions. Par exemple, pour neuf, le couple trois et trois n'ajoute qu'un seul diviseur à la liste.
Cette méthode permet de corriger ou de justifier une liste. Vérifier seulement les nombres déjà écrits ne suffit pas : il faut aussi rechercher ceux qui pourraient manquer.
Les pièges
Oublier un ou le nombre étudié.
Commence par le couple formé par un et le nombre étudié. Si le nombre étudié est un, écris-le une seule fois.
Confondre diviseur et multiple.
Pose-toi cette question : est-ce que le nombre étudié se partage exactement par le nombre que je propose ? Un nombre positif plus grand que lui ne peut pas être son diviseur.
S'arrêter après quelques diviseurs ou écrire un diviseur plusieurs fois.
Organise ta recherche : teste les candidats dans l'ordre ou cherche les couples. Puis range ta liste et vérifie que chaque nombre n'y apparaît qu'une fois.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Trouver tous les diviseurs d’un nombre permet de chercher toutes les façons de partager une quantité en groupes égaux, sans reste. Cela sert, par exemple, à répartir des objets ou à former des équipes de même taille.
Le cours
Un diviseur d’un nombre entier est un nombre entier non nul qui le divise exactement : le reste de la division est égal à 0. Par exemple, 4 est un diviseur de 12 car 12 = 4 × 3. En revanche, 5 n’est pas un diviseur de 12 car 12 = 5 × 2 + 2 : il reste 2.
Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, tu peux tester les nombres entiers de 1 jusqu’à ce nombre, dans l’ordre. À chaque division, garde le nombre testé seulement si le reste est nul. Aucun nombre plus grand que le nombre de départ ne peut être un de ses diviseurs.
Tu peux aussi chercher les multiplications qui donnent le nombre de départ. Chaque multiplication fournit une paire de diviseurs. Pour 24, on trouve 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8 et 4 × 6. Pour ne rien oublier, teste les premiers facteurs dans l’ordre : 1, 2, 3, 4… Ici, 5 ne convient pas et, à partir de 6, les paires seraient inversées et déjà trouvées. Les diviseurs de 24 sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
Écris la liste finale du plus petit au plus grand et ne note chaque diviseur qu’une seule fois. Lorsqu’une multiplication utilise deux facteurs égaux, le diviseur n’est écrit qu’une fois : pour 9, les produits 1 × 9 et 3 × 3 donnent la liste 1, 3, 9.
Tout nombre entier de 1 à 30 a au moins 1 et lui-même comme diviseurs. Pour le nombre 1, ces deux diviseurs sont confondus : sa liste contient seulement 1. Certains nombres, comme 17, ont exactement deux diviseurs : 1 et eux-mêmes.
Des exemples
On cherche tous les diviseurs de 26. Vérifie si 13 en fait partie en effectuant la division.
La division de 26 par 13 donne : 2 reste 0. Le reste est nul : 13 est donc un diviseur de 26. Le quotient est aussi un diviseur de 26 : cette division permet de trouver une paire de diviseurs. Il faut ensuite chercher les autres paires et ranger tous les diviseurs trouvés, sans répétition.
Pour établir la liste des diviseurs de 27, on teste 4. Faut-il le garder dans la liste ?
La division de 27 par 4 donne : 6 reste 3. Le reste n’est pas nul : 4 n’est donc pas un diviseur de 27. On ne le garde pas et on poursuit la recherche avec les autres nombres à tester.
Cherche tous les diviseurs de 29. Commence par diviser 29 par 1.
La division donne : 29 reste 0. On trouve la paire formée par 1 et 29. En testant les nombres suivants dans l’ordre, aucune autre paire ne convient avant que les paires ne commencent à se répéter. La liste complète des diviseurs est donc : 1, 29.
À retenir
- Un diviseur partage exactement le nombre : le reste est nul.
- 1 et le nombre lui-même sont toujours des diviseurs.
- Teste les nombres dans l’ordre pour ne rien oublier.
- Une multiplication permet de trouver une paire de diviseurs.
- Range les diviseurs du plus petit au plus grand, sans doublon.
- Le nombre 1 a un seul diviseur : 1.
Les mots de la leçon
- Diviseur
- Nombre entier non nul par lequel on peut diviser un nombre entier sans reste.
- Quotient
- Dans une division euclidienne, nombre de groupes complets que l’on peut former.
- Reste
- Quantité qui reste après avoir formé tous les groupes complets dans une division euclidienne.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUn diviseur permet de partager un nombre en parts égales sans reste. Avec dix jetons, tu peux former des groupes de un, de deux, de cinq ou de dix jetons : les diviseurs de dix sont donc un, deux, cinq et dix.
Trouve tous les diviseurs de seize et range-les du plus petit au plus grand.
- Commence par le couple un et seize.Un fois seize donne seize : ces deux nombres sont donc des diviseurs.
- Essaie deux : deux fois huit donne seize. Ajoute deux et huit.Chaque multiplication qui donne seize fournit un couple de diviseurs.
- Essaie trois : le partage laisse un reste. Ne le garde pas.Un diviseur doit permettre un partage sans reste.
- Essaie quatre : quatre fois quatre donne seize. Ajoute quatre une seule fois.Les deux nombres du couple sont identiques : il ne faut pas écrire de doublon.
- Tu peux arrêter la recherche des couples et ranger la liste : un, deux, quatre, huit, seize.Les couples suivants reprendraient les mêmes nombres dans l'autre sens. Tous les diviseurs ont été trouvés.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Établir la liste complète des diviseurs d’un nombre entier compris entre 1 et 30, sans oubli ni doublon.
- Au programme
- CM2 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Avant de commencer
- Vérifier si un nombre de 1 à 10 est un diviseur
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers