Mathématiques · CM2 · environ 20 min
Trouver les diviseurs d’un entier jusqu’à 100
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Pour chercher les diviseurs de 30, écris les paires dans deux colonnes : 1 face à 30, 2 face à 15, 3 face à 10, puis 5 face à 6. Lis ensuite la colonne de gauche de haut en bas, puis celle de droite de bas en haut : tu obtiens la liste dans l'ordre. Si un même nombre apparaît dans les deux colonnes sur une même ligne, garde-le une seule fois.
Cette présentation convient aux entiers de 1 à 100, mais elle ne garantit une liste complète que si tu testes tous les petits facteurs possibles, sans en sauter.
Prends 20 petits carrés identiques. Utilise-les tous pour construire des rectangles pleins : une rangée de 20, deux rangées de 10, puis quatre rangées de 5. Les nombres de rangées et de carrés par rangée donnent les diviseurs de 20. Tourner un rectangle ne donne pas de nouveaux diviseurs.
Les carrés doivent être tous utilisés, sans trou ni superposition. Pour un grand nombre, un dessin sur papier quadrillé peut remplacer le matériel.
Pour 18, pars de 18 = 2 × 3 × 3. Tu peux fabriquer ses diviseurs en choisissant aucun, un ou deux facteurs 3, et en utilisant ou non le facteur 2. Sans le facteur 2, tu obtiens 1, 3 et 9 ; avec lui, tu obtiens 2, 6 et 18. Range ensuite ces nombres. Le choix d'aucun facteur donne 1 : ne l'oublie pas.
Il faut décomposer jusqu'à obtenir des facteurs qui ne se décomposent plus, comme 2, 3, 5 ou 7, puis examiner toutes les combinaisons. Pour 1, il n'y a pas de décomposition à faire : son seul diviseur est 1.
Les pièges
Confondre un diviseur et un multiple.
Vérifie le sens de ta recherche : pour un diviseur, tu dois pouvoir écrire « nombre cherché × un entier = nombre de départ ». Un diviseur positif ne dépasse pas le nombre de départ.
Oublier le partenaire d'une paire ou oublier un.
Commence par la paire formée avec un, puis note toujours les deux facteurs de chaque paire.
Écrire deux fois le même diviseur dans le cas d'un carré.
Tu as bien trouvé la paire. Dans la liste finale, conserve chaque nombre une seule fois.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Trouver les diviseurs d’un nombre permet de savoir comment partager une quantité en groupes égaux sans qu’il reste d’objets. Cela sert aussi à chercher toutes les façons de ranger des objets en lignes et en colonnes.
Le cours
Un diviseur d’un nombre entier est un entier positif qui le divise exactement : le reste de la division est égal à 0. Par exemple, 4 est un diviseur de 36, car 36 = 4 × 9. En revanche, 5 n’est pas un diviseur de 36, car 36 = 5 × 7 + 1.
Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, on cherche les paires de facteurs : les couples de nombres entiers positifs dont le produit est égal au nombre étudié. Chaque multiplication trouvée donne des diviseurs. Par exemple, 4 × 9 = 36 donne les diviseurs 4 et 9.
On essaie les diviseurs possibles dans l’ordre, en commençant par 1. Pour 36 : 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9, puis 6 × 6. On a aussi essayé 5, mais la division laisse un reste : on ne le garde pas. On peut s’arrêter dès que les deux facteurs sont égaux, ou dès que le diviseur essayé devient plus grand que le quotient : au-delà, on ne trouverait que des paires déjà rencontrées dans l’autre sens.
On rassemble ensuite tous les nombres des paires et on les écrit du plus petit au plus grand, sans répétition. Les diviseurs de 36 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Dans la paire 6 × 6, on ne note 6 qu’une seule fois.
Tout entier positif a 1 et lui-même pour diviseurs. Le nombre 1 est particulier : son seul diviseur positif est 1. Pour un nombre compris entre 1 et 100, il suffit d’essayer les diviseurs jusqu’à 10 au maximum, en s’arrêtant plus tôt si les paires commencent à se répéter.
Des exemples
Effectue la division euclidienne de 56 par 7. Le nombre 7 est-il un diviseur de 56 ? Quelle paire de facteurs trouves-tu ?
Le résultat de la division est : 8 reste 0. La division est exacte : 7 est donc un diviseur de 56. Le diviseur et le quotient forment une paire de facteurs de 56 ; je les garde tous les deux pour construire la liste complète.
Effectue la division euclidienne de 47 par 5. Faut-il garder 5 dans la liste des diviseurs de 47 ?
Le résultat de la division est : 9 reste 2. Il reste une quantité non nulle : la division n’est pas exacte. Je ne garde donc pas 5 dans la liste des diviseurs de 47, et je poursuis la recherche.
Effectue la division euclidienne de 49 par 7. Que remarques-tu dans la paire de facteurs obtenue ?
Le résultat de la division est : 7 reste 0. La division est exacte et le quotient est égal à 7. La paire contient donc deux facteurs identiques. Je n’écris 7 qu’une seule fois dans la liste des diviseurs de 49. Cette paire marque la fin de la recherche : les suivantes répéteraient des paires déjà trouvées.
À retenir
- Un diviseur partage le nombre exactement, sans reste.
- Je cherche les paires de facteurs dans l’ordre, en commençant par 1.
- Chaque paire donne des diviseurs à conserver.
- Je m’arrête lorsque les facteurs sont égaux ou que le diviseur essayé dépasse le quotient.
- J’écris la liste du plus petit au plus grand, sans répétition.
- 1 et le nombre lui-même sont toujours des diviseurs ; 1 n’a que lui-même pour diviseur.
Les mots de la leçon
- Diviseur
- Entier positif qui divise exactement un nombre entier, sans reste.
- Facteur
- Nombre que l’on multiplie par un autre dans une multiplication.
- Quotient
- Résultat du partage dans une division. Dans une division euclidienne, il est entier et peut être accompagné d’un reste.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUn diviseur permet de partager un nombre sans reste. Pour 12 jetons, tu peux faire des rangées de 3 jetons : 3 × 4 = 12, donc 3 et 4 sont des diviseurs de 12. En cherchant toutes les paires, tu trouves les diviseurs 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Trouve tous les diviseurs positifs de 24.
- Commence par 1 × 24 = 24. Note 1 et 24.Un nombre entier positif est toujours divisible par 1 et par lui-même.
- Essaie 2, puis 3 : 2 × 12 = 24 et 3 × 8 = 24. Note les deux nombres de chaque paire.Chaque multiplication donne deux diviseurs, car le partage se fait sans reste.
- Essaie 4 : 4 × 6 = 24. Ajoute 4 et 6.Il faut continuer la recherche pour ne pas oublier une paire.
- Essaie 5 : il ne divise pas 24. Tu peux ensuite t'arrêter, car 5 × 5 dépasse 24.Dans chaque paire, le plus petit facteur a un carré inférieur ou égal au nombre étudié. Les paires suivantes seraient donc des paires déjà trouvées, dans l'autre sens.
- Range les diviseurs du plus petit au plus grand : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.La liste contient chaque diviseur une seule fois.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Pour un entier compris entre 1 et 100, rechercher les paires de facteurs et dresser la liste complète de ses diviseurs positifs.
- Au programme
- CM2 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers