Mathématiques · 4e · Géométrie
Reconnaître les propriétés du parallélogramme
Environ 10 min
Comprendre
Les propriétés du parallélogramme permettent de déterminer des longueurs et de justifier que des droites sont parallèles ou qu’un point est un milieu. Elles servent aussi à démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
La figure
Le cours
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans toute la leçon, les sommets A, B, C et D sont nommés dans l’ordre autour du quadrilatère : les côtés opposés sont [AB] et [CD], puis [AD] et [BC]. Ainsi, si ABCD est un parallélogramme, alors (AB) ∥ (CD) et (AD) ∥ (BC).
Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Si ABCD est un parallélogramme, alors AB = CD et AD = BC. Attention : cela ne signifie pas que tous ses côtés ont la même longueur.
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Si les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O, alors OA = OC et OB = OD. Le point O est donc le milieu de chacune des diagonales. En revanche, les diagonales d’un parallélogramme ne sont pas nécessairement de même longueur ni perpendiculaires.
Pour démontrer qu’un quadrilatère non croisé est un parallélogramme, on peut établir que ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, ou que ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux, ou que ses diagonales ont le même milieu. On peut aussi montrer qu’une paire de côtés opposés est à la fois parallèle et de même longueur. Une seule égalité de longueurs entre des côtés opposés ne suffit pas.
Pour justifier une affirmation, commence par citer les informations connues, puis énonce la propriété adaptée et termine par la conclusion. Distingue bien les deux situations : si le parallélogramme est déjà donné, tu utilises ses propriétés ; si tu dois prouver que le quadrilatère est un parallélogramme, tu vérifies un des critères précédents. L’apparence du dessin ne constitue pas une preuve.
Un exempleDes exemples
ABCD est un parallélogramme. On sait que AB + BC = 37 cm et que CD = 14 cm. Calcule BC en justifiant.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur, donc AB = CD = 14 cm. Comme AB + BC = 37 cm, on obtient BC = 37 − 14 = 23 cm.
ABCD est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en O. On sait que AC = 27,4 cm. Justifie que AO est la moitié de 27,4 cm, puis calcule AO.
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. O est donc le milieu de [AC] : AO = OC et AO est la moitié de AC. Ainsi, AO = 137/10 cm.
Dans un quadrilatère non croisé ABCD, les diagonales se coupent en O. On sait que O est le milieu de [BD], que AO = 8,6 cm et que OC = 8,6 cm. Compare AO et OC, puis justifie que ABCD est un parallélogramme.
La comparaison donne 8,6 = 8,6, donc AO = OC. Puisque O appartient à [AC], O est le milieu de [AC]. Il est aussi le milieu de [BD] d’après l’énoncé. Les diagonales ont donc le même milieu : ABCD est un parallélogramme.
Démonstration et exemple résolu
RegardeDans un parallélogramme ABCD, les côtés opposés AB et CD sont parallèles et de même longueur ; c’est aussi vrai pour AD et BC. Si les diagonales se coupent en O, alors AO = OC et BO = OD : O est leur milieu commun. Ces propriétés permettent de justifier une égalité ou un parallélisme sans se fier à l’apparence du dessin.
ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en O. Justifie que AB = CD et que O est le milieu de [AC].
- Repère AB et CD : ce sont des côtés opposés.Les sommets A, B, C et D sont nommés dans l’ordre autour du parallélogramme.
- Écris : « ABCD est un parallélogramme, donc AB = CD. »Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur.
- Écris : « Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Donc O est le milieu de [AC]. »O est le point d’intersection des diagonales : il appartient à [AC] et AO = OC.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Affirmer que les diagonales d’un parallélogramme sont toujours de même longueur.
Comment l'éviter : Reviens à la propriété valable pour tous les parallélogrammes : les diagonales ont le même milieu. Écris AO = OC et BO = OD, sans ajouter AC = BD.
Erreur : Confondre un côté opposé avec un côté voisin.
Comment l'éviter : Suis les sommets dans l’ordre : AB est opposé à CD, et BC est opposé à AD. Repère ces paires avant d’utiliser une égalité.
Erreur : Justifier une affirmation uniquement parce que le dessin semble la montrer.
Comment l'éviter : Cherche ce qui est donné dans l’énoncé, puis cite la propriété qui permet de conclure. Le dessin sert à repérer, pas à prouver.
Voir autrement
La leçon ne passe pas ? Choisis une autre façon de comprendre. Une seule s'ouvre à la fois.
Trace un parallélogramme ABCD, puis ses diagonales qui se coupent en O. Utilise une couleur pour AB et CD, une autre pour AD et BC. Ajoute des flèches identiques sur les côtés parallèles. Sur les diagonales, donne le même codage à AO et OC, puis un autre codage à BO et OD. Tu vois ainsi quelles longueurs sont égales, sans confondre les côtés et les diagonales.
Les marques traduisent les propriétés du parallélogramme annoncé dans l’énoncé. Un dessin qui ressemble à un parallélogramme ne suffit pas à prouver que la figure en est un.
Découpe des bandes de papier de longueurs différentes. Marque le milieu de chacune et fixe-les ensemble à cet endroit avec une attache parisienne. Écarte les bandes, puis relie leurs extrémités dans l’ordre autour de la figure. En faisant tourner les bandes sans les aligner, tu obtiens différents parallélogrammes : leurs diagonales gardent le même milieu.
Les bandes doivent être fixées exactement par leur milieu et ne doivent pas être alignées. La manipulation aide à comprendre ; pour justifier sur ta copie, cite la propriété des diagonales.
Si l’énoncé donne un parallélogramme, tu peux utiliser ses côtés opposés parallèles et égaux, ou ses diagonales de même milieu. Si tu dois au contraire prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, cherche un critère suffisant : par exemple, montrer que ses diagonales ont le même milieu. Rédige ensuite : ce que tu sais, la propriété utilisée, puis ce que tu en déduis.
Ne confonds pas une propriété avec sa réciproque : une seule paire de côtés opposés de même longueur ne suffit pas à reconnaître un parallélogramme.
Il te manque peut-être une notion d'avant :Reconnaître et construire le milieu d’un segmentRevoir les bases pas à pas
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À retenir
- Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles deux à deux.
- Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur.
- Les diagonales d’un parallélogramme ont le même milieu.
- Des diagonales de même milieu permettent de prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme.
- Les diagonales ne sont pas forcément de même longueur ni perpendiculaires.
- Une justification s’appuie sur les données et une propriété, jamais seulement sur le dessin.
Les mots de la leçon
- Parallélogramme
- Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- Côtés opposés
- Côtés d’un quadrilatère qui n’ont pas de sommet commun.
- Diagonale
- Segment qui relie deux sommets non consécutifs d’un quadrilatère.
- Milieu d’un segment
- Point du segment situé à la même distance de ses deux extrémités.