Mathématiques · 4e · Géométrie
Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme
Environ 15 min
Comprendre
Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme permet de connaître sa nature avec certitude, sans se fier à son apparence. On utilise pour cela les informations données sur ses diagonales ou sur ses côtés opposés.
La figure
Le cours
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Dans un quadrilatère ABCD, les sommets sont nommés dans l’ordre du contour : les côtés opposés sont [AB] et [CD], puis [AD] et [BC] ; les diagonales sont [AC] et [BD]. On considère ici des quadrilatères non croisés.
Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Ainsi, si O appartient à [AC] et à [BD], avec OA = OC et OB = OD, alors O est le milieu de chacune des diagonales et ABCD est un parallélogramme. On dit aussi que les diagonales se coupent en leur milieu.
Si un quadrilatère non croisé possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme. Ainsi, si (AB) est parallèle à (CD) et si AB = CD, alors ABCD est un parallélogramme. Les deux conditions doivent concerner la même paire de côtés opposés.
Pour rédiger une démonstration, commence par citer les informations données dans l’énoncé ou indiquées par les codages. Établis ensuite les conditions de la propriété choisie, énonce cette propriété, puis conclus en nommant le quadrilatère : « Donc ABCD est un parallélogramme. » Une seule propriété suffisante, correctement vérifiée, permet de conclure.
Attention : des diagonales de même longueur ne suffisent pas à prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme. De même, une seule paire de côtés opposés parallèles, ou une seule paire de côtés opposés de même longueur, ne suffit pas. Une mesure prise sur le dessin ou une simple impression visuelle ne remplace pas une information donnée ou démontrée.
Un exempleDes exemples
Dans le quadrilatère ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. On sait que OA = 7,3 cm, OC = 7,3 cm et OB = OD. Démontre que ABCD est un parallélogramme.
La comparaison donne 7,3 = 7,3, donc OA = OC. Comme O appartient à [AC], O est le milieu de [AC]. De même, O appartient à [BD] et OB = OD : O est donc le milieu de [BD]. Les diagonales de ABCD ont le même milieu. Or, si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme.
ABCD est un quadrilatère non croisé. On sait que (AB) est parallèle à (CD), que AB = 11,6 cm et que CD = 11,6 cm. Démontre que ABCD est un parallélogramme.
La comparaison donne 11,6 = 11,6, donc AB = CD. Les côtés [AB] et [CD] sont opposés ; ils sont parallèles d’après l’énoncé et de même longueur. Or, si un quadrilatère non croisé possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme.
Démonstration et exemple résolu
RegardeDans un quadrilatère non croisé ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. Si AO = OC et BO = OD, alors les diagonales ont le même milieu : ABCD est donc un parallélogramme. Tu peux aussi le démontrer en établissant que des côtés opposés, par exemple [AB] et [CD], sont à la fois parallèles et de même longueur.
ABCD est un quadrilatère non croisé. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. On sait que AO = OC et BO = OD. Démontre que ABCD est un parallélogramme.
- O est le milieu de [AC].O appartient à [AC] et AO = OC.
- O est aussi le milieu de [BD].O appartient à [BD] et BO = OD.
- Les diagonales de ABCD ont le même milieu O.Le même point est le milieu de chacune des diagonales.
- Donc ABCD est un parallélogramme.Un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Conclure dès que les diagonales se coupent.
Comment l'éviter : Tu as repéré l'intersection. Vérifie maintenant les égalités AO = OC et BO = OD avant de conclure.
Erreur : Utiliser seulement l'égalité des longueurs des diagonales.
Comment l'éviter : Tu as comparé les diagonales entières. Pour la propriété étudiée, cherche plutôt si elles se coupent en leur milieu.
Erreur : Conclure avec seulement des côtés opposés parallèles, ou seulement des côtés opposés de même longueur.
Comment l'éviter : Tu as établi une information utile. Cherche la condition manquante sur cette même paire de côtés.
Voir autrement
La leçon ne passe pas ? Choisis une autre façon de comprendre. Une seule s'ouvre à la fois.
Trace un quadrilatère non croisé ABCD et ses diagonales, qui se coupent en O. Mets le même petit trait sur [AO] et [OC], puis une autre marque commune sur [BO] et [OD]. Ces marques traduisent AO = OC et BO = OD : O est le milieu commun des diagonales. Pour l'autre propriété, repère sur des côtés opposés des flèches de parallélisme et des marques d'égalité de longueur.
Une figure qui ressemble à un parallélogramme ne suffit pas. Les marques doivent traduire des informations données ou déjà démontrées.
Prends des bandes de papier de longueurs différentes. Plie chacune pour marquer son milieu, puis déplie-les. Superpose leurs milieux et fais pivoter une bande sans déplacer le point commun. Nomme les extrémités A et C sur une bande, B et D sur l'autre. Relie les extrémités dans l'ordre A, B, C, D : tu obtiens un parallélogramme tant que les bandes ne sont pas alignées. La propriété des diagonales explique pourquoi la construction fonctionne.
La manipulation aide à comprendre, mais une mesure approximative ne remplace pas une preuve. Les bandes ne doivent pas être alignées.
Avant de rédiger, choisis une piste. Piste des diagonales : vérifie que leur point d'intersection partage chacune en segments de même longueur. Piste des côtés : choisis une paire de côtés opposés et établis à la fois leur parallélisme et leur égalité de longueur. Rédige ensuite : les informations connues, la propriété utilisée, puis la conclusion.
Ne mélange pas des informations portant sur des paires différentes : le parallélisme et l'égalité doivent concerner la même paire de côtés opposés.
Il te manque peut-être une notion d'avant :Reconnaître les propriétés du parallélogrammeRevoir les bases pas à pas
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Retenir
À retenir
- Des diagonales qui ont le même milieu permettent de conclure : c’est un parallélogramme.
- Deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur permettent aussi de conclure.
- Pour les diagonales, vérifie que leur point d’intersection est le milieu de chacune.
- Pour les côtés, vérifie les deux conditions sur la même paire de côtés opposés.
- Une démonstration cite les informations utiles, la propriété et la conclusion.
- L’apparence du dessin ne constitue pas une preuve.
Les mots de la leçon
- Parallélogramme
- Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- Côtés opposés
- Côtés d’un quadrilatère qui n’ont pas de sommet commun.
- Diagonale
- Segment qui relie deux sommets non consécutifs d’un quadrilatère.
- Milieu d’un segment
- Point qui appartient au segment et qui est à égale distance de ses extrémités.