Mathématiques · 4e · Géométrie
Calculer un angle grâce aux parallèles coupées par une sécante
Environ 10 min
Comprendre
Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, certains angles ont la même mesure. Ces égalités permettent de calculer un angle inconnu sans le mesurer au rapporteur.
Le cours
Une sécante est une droite qui coupe deux autres droites en deux points distincts. Pour utiliser les propriétés suivantes, les deux droites coupées doivent être parallèles : ce parallélisme doit être indiqué dans l'énoncé ou avoir été démontré. L'apparence du dessin ne suffit pas.
Deux angles alternes-internes sont situés entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante, et ont des sommets différents. Si les deux droites sont parallèles, alors ces angles alternes-internes ont la même mesure.
Deux angles correspondants occupent la même position aux deux intersections : ils sont du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur de la bande délimitée par les deux droites et l'autre à l'extérieur. Si les deux droites sont parallèles, alors ces angles correspondants ont la même mesure.
Pour calculer un angle, repère les droites parallèles et la sécante, puis cherche un angle de mesure connue qui forme avec l'angle recherché une paire d'angles alternes-internes ou correspondants. Dans ta justification, indique le parallélisme, nomme la paire d'angles et conclus que leurs mesures sont égales.
Un calcul supplémentaire peut être nécessaire. À une même intersection, deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forment une droite sont supplémentaires : la somme de leurs mesures vaut 180°. Ces propriétés peuvent se combiner avec celles des angles formés par les parallèles et la sécante.
Un exempleDes exemples
Les droites d et e sont parallèles et coupées par une sécante t. Les angles α et β sont situés entre d et e, de part et d'autre de t, à des intersections différentes. L'angle α mesure 73°. Calcule la mesure de β.
Les angles α et β sont alternes-internes. Comme les droites d et e sont parallèles, ces angles ont la même mesure. Donc β mesure 73°.
Les droites d et e sont parallèles et coupées par une sécante t. Les angles γ et δ occupent la même position aux deux intersections : ils sont du même côté de t, l'un à l'intérieur de la bande entre d et e et l'autre à l'extérieur. L'angle γ mesure 116°. Calcule la mesure de δ.
Les angles γ et δ sont correspondants. Puisque les droites d et e sont parallèles, ils ont la même mesure. Donc δ mesure 116°.
Les droites d et e sont parallèles et coupées par une sécante. Les angles α et β sont alternes-internes, et α mesure 47°. À la même intersection que β, l'angle γ est adjacent à β et forme avec lui un angle plat de 180°. Calcule la mesure de γ.
Les droites d et e étant parallèles, les angles alternes-internes α et β ont la même mesure : β mesure donc 47°. Les angles β et γ forment un angle plat, donc leurs mesures ont pour somme 180°. Ainsi, γ mesure 180° − 47° = 133°.
Démonstration et exemple résolu
RegardeDeux droites parallèles sont coupées par une sécante. Les angles alternes-internes, situés entre les parallèles et de part et d’autre de la sécante, ont la même mesure. Les angles correspondants, placés dans la même position aux deux intersections, ont aussi la même mesure.
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle mesure 58°. L’angle α et cet angle sont alternes-internes. Quelle est la mesure de α ?
- Vérifie que les deux droites sont bien annoncées parallèles.L’égalité des angles alternes-internes dépend de cette condition.
- Repère les deux angles entre les parallèles, de part et d’autre de la sécante.Cette position permet de reconnaître des angles alternes-internes.
- Écris : « Les droites étant parallèles, les angles alternes-internes sont égaux. » La mesure de α est donc celle de l’angle donné.La propriété permet de trouver la mesure cherchée sans utiliser de rapporteur.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Affirmer que des angles correspondants sont égaux sans vérifier le parallélisme.
Comment l'éviter : Tu as reconnu la position des angles. Vérifie maintenant que les droites sont données parallèles avant d’utiliser leur égalité.
Erreur : Confondre l’angle correspondant et son voisin.
Comment l'éviter : Repère d’abord l’angle dans la même position que l’angle connu. Puis vérifie si la question porte sur cet angle ou sur son voisin.
Erreur : Soustraire systématiquement à la mesure d’un angle plat.
Comment l'éviter : Nomme d’abord la relation entre les angles. Garde la soustraction pour deux angles qui forment réellement un angle plat.
Voir autrement
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Dessine deux parallèles et une sécante oblique. Colorie légèrement la bande entre les parallèles. Pour reconnaître des angles alternes-internes, cherche un angle à chaque intersection, tous les deux dans cette bande, mais de côtés opposés de la sécante. Pour reconnaître des angles correspondants, cherche la même position aux deux intersections : par exemple, au-dessus de la parallèle et à droite de la sécante dans les deux cas.
La position permet de nommer les angles, mais elle ne suffit pas à prouver leur égalité : les droites doivent être parallèles. Ne te fie pas seulement à l’apparence du dessin.
Trace deux parallèles coupées par une sécante. Sur un calque, reproduis les deux côtés d’un angle à la première intersection. Sans tourner le calque, fais glisser son sommet le long de la sécante jusqu’à la seconde intersection. Les côtés se superposent à ceux de l’angle correspondant : l’ouverture est conservée.
Cette manipulation aide à voir l’égalité des angles correspondants. Dans une réponse écrite, remplace la manipulation par la propriété et précise que les droites sont parallèles.
Commence par repérer un angle correspondant ou alterne-interne à l’angle connu. Donne-lui la même mesure en citant les parallèles. Si ce n’est pas encore l’angle demandé, regarde s’il forme un angle plat avec lui : dans ce cas, retranche la mesure trouvée à celle d’un angle plat. Écris une justification pour chaque passage.
La soustraction à un angle plat convient seulement à deux angles adjacents dont les côtés extérieurs sont des demi-droites opposées. Deux angles simplement voisins ne sont pas forcément supplémentaires.
Il te manque peut-être une notion d'avant :Reconnaître des angles formés par deux parallèles coupées par une sécanteRevoir les bases pas à pas
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À retenir
- Vérifie le parallélisme avant d'utiliser une égalité d'angles alternes-internes ou correspondants.
- Alternes-internes : entre les droites et de part et d'autre de la sécante.
- Correspondants : même position aux deux intersections.
- Avec des droites parallèles, les angles alternes-internes ou correspondants ont la même mesure.
- Deux angles qui forment un angle plat ont pour somme 180°.
- Justifie l'égalité par la propriété utilisée, pas par l'apparence du dessin.
Les mots de la leçon
- Sécante
- Droite qui coupe les deux droites étudiées en deux points distincts.
- Angles alternes-internes
- Angles de sommets différents, situés entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante.
- Angles correspondants
- Angles situés dans la même position aux deux intersections, du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur de la bande entre les droites et l'autre à l'extérieur.
- Angles supplémentaires
- Angles dont la somme des mesures est égale à 180°.
- Angles opposés par le sommet
- Angles formés à l'intersection de deux droites, dont les côtés sont dans le prolongement les uns des autres. Ils ont la même mesure.