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Calculer une longueur avec la trigonométrie
Au programme de 3e : Calculer une longueur avec la trigonométrie du triangle rectangle
Environ 12 min
Comprendre
La trigonométrie permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle lorsqu’on connaît un angle aigu et la longueur d’un côté. Elle sert notamment à déterminer une hauteur ou une distance difficile à mesurer directement.
La figure
Le cours
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : c’est le plus long côté. Pour utiliser la trigonométrie, on choisit comme angle de référence l’angle aigu connu. Le côté opposé est celui qui ne touche pas cet angle. Le côté adjacent est celui qui touche cet angle, sans être l’hypoténuse. Si l’on change d’angle de référence, les côtés adjacent et opposé échangent leurs rôles, mais l’hypoténuse reste la même.
Pour un angle aigu α, on dispose de trois rapports : cosinus(α) = longueur du côté adjacent / longueur de l’hypoténuse ; sinus(α) = longueur du côté opposé / longueur de l’hypoténuse ; tangente(α) = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent. Les longueurs utilisées dans un rapport doivent être exprimées dans la même unité.
Pour calculer une longueur, commence par repérer l’angle droit, l’angle aigu connu, le côté connu et le côté cherché. Choisis ensuite le rapport qui relie ces deux côtés : le cosinus pour adjacent et hypoténuse, le sinus pour opposé et hypoténuse, la tangente pour opposé et adjacent. Écris l’égalité avec les noms des côtés du triangle, puis remplace les données connues par leurs valeurs.
Isole la longueur cherchée avant de calculer. Les égalités précédentes donnent : adjacent = hypoténuse × cosinus(α) ; opposé = hypoténuse × sinus(α) ; opposé = adjacent × tangente(α). Elles donnent aussi : hypoténuse = adjacent / cosinus(α) ; hypoténuse = opposé / sinus(α) ; adjacent = opposé / tangente(α). Selon la place de la longueur cherchée, il faut donc multiplier ou diviser.
Règle la calculatrice en mode degrés lorsque l’angle est donné en degrés. Conserve les valeurs non arrondies pendant le calcul, puis arrondis seulement le résultat final à la précision demandée et indique son unité. Vérifie enfin que la longueur obtenue est positive et que l’hypoténuse est plus longue que chacun des autres côtés.
Un exempleDes exemples
Le triangle ABC est rectangle en C. L’angle BAC mesure 37° et l’hypoténuse AB mesure 13 cm. Calcule la longueur AC, puis arrondis au dixième de centimètre.
Par rapport à l’angle BAC, AC est le côté adjacent et AB est l’hypoténuse. Le rapport qui les relie est le cosinus : cosinus(37°) = AC / 13. On obtient AC = 13 × cosinus(37°), soit AC ≈ 10,4 cm.
Le triangle DEF est rectangle en F. L’angle EDF mesure 53° et le côté EF mesure 9 cm. Calcule la longueur DE, puis arrondis au dixième de centimètre.
Par rapport à l’angle EDF, EF est le côté opposé et DE est l’hypoténuse. On écrit sinus(53°) = 9 / DE. En isolant DE, on obtient DE = 9 / sinus(53°), soit DE ≈ 11,3 cm. Il faut ici diviser, car la longueur cherchée est au dénominateur du rapport.
Le triangle GHI est rectangle en I. L’angle HGI mesure 28° et le côté GI mesure 17 m. Calcule la longueur HI, puis arrondis au dixième de mètre.
Par rapport à l’angle HGI, GI est le côté adjacent et HI est le côté opposé. La tangente relie ces deux côtés : tangente(28°) = HI / 17. On obtient HI = 17 × tangente(28°), soit HI ≈ 9,0 m.
Démonstration et exemple résolu
RegardeDans un triangle rectangle, un angle aigu et la longueur d’un côté permettent de calculer une autre longueur. Par exemple, si tu connais l’hypoténuse et que tu cherches le côté adjacent à cet angle, tu multiplies la longueur de l’hypoténuse par le cosinus de l’angle.
Le triangle ABC est rectangle en B. L’angle BAC mesure 38° et l’hypoténuse AC mesure 9 cm. Calcule AB, en arrondissant au dixième.
- Prends l’angle BAC comme angle de référence. AC est l’hypoténuse et AB est le côté adjacent à cet angle.L’hypoténuse est en face de l’angle droit. AB touche l’angle de référence sans être l’hypoténuse.
- Écris : cosinus de l’angle BAC = AB / AC.Le cosinus relie le côté adjacent et l’hypoténuse.
- Remplace les données : cosinus de 38° = AB / 9, donc AB = 9 × cosinus de 38°.Pour retrouver AB, multiplie les deux membres de l’égalité par la longueur AC.
- Règle la calculatrice en degrés, saisis cette expression, puis arrondis le résultat au dixième de centimètre.L’angle est donné en degrés. Garde la précision de la calculatrice jusqu’à l’arrondi final et vérifie que AB est plus court que l’hypoténuse.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Confondre le côté adjacent et le côté opposé.
Comment l'éviter : Entoure l’angle utilisé. Le côté qui ne touche pas cet angle est le côté opposé. Parmi les côtés qui le touchent, écarte l’hypoténuse : il reste le côté adjacent.
Erreur : Multiplier systématiquement, même quand on cherche l’hypoténuse.
Comment l'éviter : Réécris l’égalité avec le nom de la longueur inconnue, puis isole-la. Si tu cherches l’hypoténuse, vérifie qu’elle est plus longue que le côté connu.
Erreur : Utiliser la calculatrice dans un mode qui ne correspond pas aux degrés.
Comment l'éviter : Vérifie le mode degrés avant de recommencer. Conserve ensuite toutes les décimales disponibles et arrondis seulement le résultat final.
Voir autrement
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Dessine le triangle et marque l’angle droit. Repasse l’hypoténuse, située en face de cet angle. Entoure ensuite l’angle aigu donné : le côté qui ne le touche pas est le côté opposé ; celui qui le touche sans être l’hypoténuse est le côté adjacent. Marque la longueur connue et la longueur cherchée : ces deux côtés te permettent de choisir le cosinus, le sinus ou la tangente.
Cette méthode concerne un triangle rectangle. Les rôles adjacent et opposé dépendent de l’angle aigu choisi, même si le dessin est tourné.
Sur une feuille, trace un angle aigu et choisis un point sur l’un de ses côtés. Construis un triangle rectangle en traçant une perpendiculaire à l’autre côté de l’angle. Recommence avec un point plus éloigné. Mesure les côtés : les longueurs changent, mais les rapports adjacent sur hypoténuse, opposé sur hypoténuse et opposé sur adjacent restent approximativement les mêmes. Pour un angle fixé, ces rapports permettent donc de retrouver une longueur manquante.
Les mesures sur papier sont approximatives : elles servent à comprendre, pas à fournir le résultat précis. Les triangles doivent avoir le même angle aigu et être rectangles.
Pars seulement des deux rôles utiles. Adjacent et hypoténuse : cosinus = adjacent / hypoténuse. Opposé et hypoténuse : sinus = opposé / hypoténuse. Opposé et adjacent : tangente = opposé / adjacent. Écris l’égalité avant de calculer. Si la longueur cherchée est au numérateur, tu obtiens généralement une multiplication. Si elle est au dénominateur, réorganise l’égalité : par exemple, hypoténuse = adjacent / cosinus de l’angle.
L’angle de référence doit être aigu et le triangle rectangle. La calculatrice doit être réglée en degrés lorsque l’angle est donné en degrés.
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Retenir
À retenir
- La trigonométrie étudiée ici s’utilise dans un triangle rectangle.
- Repère les côtés par rapport à l’angle aigu connu.
- Cosinus : adjacent / hypoténuse ; sinus : opposé / hypoténuse ; tangente : opposé / adjacent.
- Choisis le rapport qui contient le côté connu et le côté cherché, puis isole la longueur cherchée.
- Utilise la calculatrice en mode degrés et arrondis uniquement le résultat final.
- Indique l’unité et vérifie que l’hypoténuse reste le plus long côté.
Les mots de la leçon
- Hypoténuse
- Côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle. C’est le plus long côté du triangle.
- Côté adjacent
- Par rapport à un angle aigu choisi dans un triangle rectangle, côté qui touche cet angle et qui n’est pas l’hypoténuse.
- Côté opposé
- Par rapport à un angle aigu choisi dans un triangle rectangle, côté situé en face de cet angle, qui ne touche pas son sommet.
- Cosinus, sinus et tangente
- Rapports de longueurs associés à un angle aigu d’un triangle rectangle. Pour un même angle aigu, ces rapports restent identiques, quelle que soit la taille du triangle.