Mathématiques · 3e · Théorèmes
Calculer un angle avec le cosinus, le sinus ou la tangente
Au programme de 3e : Calculer un angle avec la trigonométrie du triangle rectangle
Environ 12 min
Comprendre
La trigonométrie permet de calculer la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle lorsque l’on connaît les longueurs de deux côtés. Elle sert notamment à déterminer une inclinaison, par exemple celle d’une pente ou d’une échelle.
La figure
Le cours
Commence par vérifier que le triangle est rectangle, puis repère l’angle aigu à calculer. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : c’est le plus long côté. Par rapport à l’angle à calculer, le côté opposé est celui qui ne touche pas cet angle ; le côté adjacent est celui qui touche cet angle sans être l’hypoténuse. Les rôles « adjacent » et « opposé » dépendent donc de l’angle choisi.
Pour un angle aigu α dans un triangle rectangle, on a : cos(α) = longueur du côté adjacent / longueur de l’hypoténuse ; sin(α) = longueur du côté opposé / longueur de l’hypoténuse ; tan(α) = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent. Les deux longueurs utilisées dans un rapport doivent être exprimées dans la même unité.
Choisis le rapport qui utilise les deux côtés connus : le cosinus pour le côté adjacent et l’hypoténuse, le sinus pour le côté opposé et l’hypoténuse, la tangente pour le côté opposé et le côté adjacent. Écris d’abord l’égalité avec les noms des côtés, puis remplace leurs longueurs par les valeurs connues.
Pour retrouver l’angle à partir du rapport, règle la calculatrice en mode degrés, souvent indiqué par DEG. Utilise ensuite la fonction réciproque correspondante : α = cos⁻¹(adjacent / hypoténuse), α = sin⁻¹(opposé / hypoténuse) ou α = tan⁻¹(opposé / adjacent). Ces fonctions peuvent aussi être notées arccos, arcsin et arctan ; elles sont souvent accessibles avec la touche SHIFT ou seconde. Ici, cos⁻¹ ne signifie pas « un divisé par le cosinus ».
Saisis directement le quotient dans la fonction réciproque, sans arrondir le rapport avant le calcul. Arrondis seulement la mesure finale à la précision demandée et écris l’unité degré, notée °. Vérifie que le résultat est strictement compris entre 0° et 90°. Pour le cosinus et le sinus d’un angle aigu, le rapport doit être strictement compris entre 0 et 1.
Un exempleDes exemples
Le triangle ABC est rectangle en B. On connaît AB = 7,2 cm et AC = 11,6 cm. Calcule la mesure de l’angle BÂC en degrés et arrondis au dixième.
AC est l’hypoténuse et AB est le côté adjacent à l’angle BÂC. On utilise donc le cosinus : cos(BÂC) = AB / AC = 7,2 / 11,6. En mode degrés, on calcule cos⁻¹(7,2 / 11,6). La mesure de l’angle BÂC est donc d’environ 51,6°.
Le triangle DEF est rectangle en E. On connaît EF = 5,7 cm et DF = 9,4 cm. Calcule la mesure de l’angle E D F, de sommet D, en degrés et arrondis au dixième.
DF est l’hypoténuse et EF est le côté opposé à l’angle de sommet D. On utilise donc le sinus : sin(EDF) = EF / DF = 5,7 / 9,4. En mode degrés, on calcule sin⁻¹(5,7 / 9,4). La mesure de l’angle de sommet D est donc d’environ 37,3°.
Le triangle MNP est rectangle en N. On connaît NP = 8,3 cm et MN = 6,1 cm. Calcule la mesure de l’angle NMP, de sommet M, en degrés et arrondis au dixième.
Par rapport à l’angle de sommet M, NP est le côté opposé et MN est le côté adjacent. On utilise donc la tangente : tan(NMP) = NP / MN = 8,3 / 6,1. En mode degrés, on calcule tan⁻¹(8,3 / 6,1). La mesure de l’angle de sommet M est donc d’environ 53,7°.
Démonstration et exemple résolu
RegardeDans un triangle rectangle, deux longueurs permettent de retrouver un angle aigu. Par exemple, si le côté adjacent à cet angle mesure 6 cm et l’hypoténuse 10 cm, son cosinus vaut 6 ÷ 10 : la touche arccos de la calculatrice permet alors de retrouver l’angle.
Le triangle ABC est rectangle en B. On connaît AB = 6 cm et AC = 10 cm. Calcule la mesure de l’angle BAC, arrondie au dixième de degré.
- Repère AC, l’hypoténuse : c’est le côté situé en face de l’angle droit.L’hypoténuse ne change pas quand on choisit un autre angle de référence.
- Pour l’angle BAC, AB est le côté adjacent.AB touche l’angle BAC et ce n’est pas l’hypoténuse.
- Écris cos(BAC) = AB ÷ AC = 6 ÷ 10.Le cosinus relie le côté adjacent et l’hypoténuse.
- En mode degrés, saisis arccos(6 ÷ 10), puis arrondis l’affichage au dixième de degré.La fonction arccos retrouve l’angle dont on connaît le cosinus. Elle peut être notée cos⁻¹ sur la calculatrice.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Choisir adjacent et opposé d’après la position des côtés sur la page.
Comment l'éviter : Marque l’angle demandé, puis repère les côtés depuis son sommet. Tu peux tourner la feuille : leurs rôles restent les mêmes tant que tu gardes cet angle.
Erreur : Utiliser cos, sin ou tan au lieu de leur fonction inverse.
Comment l'éviter : Ta relation est peut-être correcte. Pour remonter à l’angle, utilise maintenant arccos, arcsin ou arctan.
Erreur : Lire un résultat en radians comme s’il était en degrés.
Comment l'éviter : Vérifie que le mode DEG est activé, puis relance le calcul sans arrondir le rapport avant la dernière étape.
Voir autrement
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Dessine un triangle rectangle et marque l’angle recherché par un petit arc. Repère d’abord l’hypoténuse, en face de l’angle droit. Depuis l’angle marqué, le côté qui ne touche pas ton sommet est l’opposé ; celui qui le touche sans être l’hypoténuse est l’adjacent. Colorie les côtés connus : adjacent et hypoténuse conduisent au cosinus ; opposé et hypoténuse au sinus ; opposé et adjacent à la tangente.
Cette méthode s’utilise dans un triangle rectangle, pour un angle aigu. Les noms adjacent et opposé dépendent de l’angle choisi, pas de l’orientation du dessin.
Écris la relation qui utilise les côtés connus : cos(angle) = adjacent ÷ hypoténuse, sin(angle) = opposé ÷ hypoténuse ou tan(angle) = opposé ÷ adjacent. Remplace ensuite les longueurs par leurs valeurs, exprimées dans la même unité. Vérifie le mode degrés, puis utilise arccos, arcsin ou arctan selon la relation choisie. Garde les chiffres affichés jusqu’à l’arrondi final au dixième.
Les longueurs doivent être positives et correspondre à un triangle rectangle possible. Pour le sinus et le cosinus d’un angle aigu, le rapport doit être strictement compris entre zéro et un.
Avant de valider un angle obtenu avec la tangente, compare les côtés opposé et adjacent. S’ils sont égaux, le triangle rectangle est isocèle et l’angle vaut 45°. Si l’opposé est plus court que l’adjacent, l’angle est inférieur à 45° ; s’il est plus long, l’angle est supérieur à 45°. Cette comparaison aide à repérer une inversion du rapport.
Ce contrôle concerne un angle aigu d’un triangle rectangle. Il donne une comparaison, pas la mesure précise lorsque les côtés sont différents.
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Retenir
À retenir
- Ces formules s’utilisent dans un triangle rectangle, pour un angle aigu.
- Repère les côtés par rapport à l’angle à calculer.
- Cosinus : adjacent / hypoténuse ; sinus : opposé / hypoténuse ; tangente : opposé / adjacent.
- Pour retrouver l’angle, utilise cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ en mode degrés.
- N’arrondis que le résultat final et indique l’unité °.
- L’angle obtenu doit être strictement compris entre 0° et 90°.
Les mots de la leçon
- Angle aigu
- Angle dont la mesure est strictement comprise entre 0° et 90°.
- Hypoténuse
- Côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle. C’est le plus long côté du triangle.
- Côté adjacent
- Par rapport à un angle aigu d’un triangle rectangle, côté qui touche cet angle et qui n’est pas l’hypoténuse.
- Côté opposé
- Par rapport à un angle aigu d’un triangle rectangle, côté situé en face de cet angle.
- Lignes trigonométriques
- Nom donné au cosinus, au sinus et à la tangente. Dans un triangle rectangle, ce sont des rapports de longueurs associés à un angle aigu.