Mathématiques · 3e · environ 15 min

Prouver que deux droites sont parallèles avec la réciproque de Thalès

Il aide de savoir :Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Je m'entraîne

S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Dessine les droites (OA) et (OB), qui se coupent en O. Sur chaque droite, colorie le trajet partant de O vers le point proche, puis le trajet partant de O vers le point éloigné. Associe OM à ON et OA à OB. Les rapports à comparer sont alors OM/OA et ON/OB. Vérifie aussi que M et N sont placés du même côté de O que A et B, ou qu’ils sont tous les deux placés de l’autre côté.

Un dessin sert à repérer les correspondances, pas à prouver une égalité de longueurs ni un parallélisme. Il faut utiliser les données de l’énoncé.

Les pièges

Oublier de vérifier l’ordre des points.
Ton calcul peut être juste. Reviens maintenant à la figure et écris l’ordre des points sur chaque droite avant de conclure.
Inverser un seul des rapports.
Relie les points correspondants : M avec N, puis A avec B. Si tu commences par OM/OA, écris ensuite ON/OB.
Utiliser le théorème de Thalès à la place de sa réciproque.
Repère ce que tu connais et ce que tu cherches : tu connais des longueurs et tu veux établir un parallélisme, donc tu utilises la réciproque.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

La réciproque du théorème de Thalès permet de prouver que deux droites sont parallèles à partir de longueurs connues. On l’utilise lorsque des points sont alignés sur deux droites sécantes et que l’on peut comparer des rapports de longueurs correspondants.

Le cours

On considère deux droites sécantes en A. Les points M et B appartiennent à la première droite, et les points N et C à la seconde. Tous ces points sont distincts de A, et B, A et C ne sont pas alignés. Les droites dont on cherche à prouver le parallélisme sont (MN) et (BC).
Réciproque du théorème de Thalès : si les points A, M, B et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. L’ordre doit se correspondre sur les deux droites : par exemple A-M-B et A-N-C, ou M-A-B et N-A-C.
Pour appliquer cette propriété, on vérifie d’abord les alignements et l’ordre des points à partir des informations données, et pas seulement de l’apparence du dessin. On écrit ensuite les rapports en faisant correspondre les longueurs : AM avec AN, puis AB avec AC. Les longueurs comparées doivent être exprimées dans la même unité.
Pour vérifier l’égalité AM/AB = AN/AC, on peut simplifier les fractions ou comparer les produits en croix AM × AC et AN × AB. Il faut établir une égalité exacte : des valeurs arrondies identiques ne suffisent pas. Si toutes les conditions sont réunies, on conclut : « D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. »
Attention à ne pas confondre les deux sens : le théorème de Thalès utilise un parallélisme connu pour obtenir une égalité de rapports ; sa réciproque utilise une égalité de rapports, avec les alignements et l’ordre nécessaires, pour prouver un parallélisme. Si les rapports sont différents dans cette configuration, les droites ne sont pas parallèles : sinon, le théorème de Thalès imposerait leur égalité.

Des exemples

Les points sont alignés dans les ordres A-M-B et A-N-C. On donne AM = 7 cm, AB = 11 cm, AN = 21 cm et AC = 33 cm. Prouve que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Les alignements et l’ordre des points sont donnés. On compare AM/AB = 7/11 et AN/AC = 21/33. La comparaison donne : =. Les rapports sont égaux. Toutes les conditions étant réunies, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que (MN) et (BC) sont parallèles.
Les points sont alignés dans les ordres M-A-B et N-A-C. On donne AM = 8 cm, AB = 14 cm, AN = 20 cm et AC = 35 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
A est situé entre M et B, ainsi qu’entre N et C : les points sont donc alignés dans le même ordre sur les deux droites. On compare AM/AB = 8/14 et AN/AC = 20/35. La comparaison donne : =. Les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles, même si les segments [MN] et [BC] sont situés de part et d’autre de A.
Les points sont alignés dans les ordres A-M-B et A-N-C. On donne AM = 9 cm, AB = 16 cm, AN = 15 cm et AC = 28 cm. Détermine si les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
On compare AM/AB = 9/16 et AN/AC = 15/28. La comparaison donne : >. Les rapports ne sont pas égaux : on ne peut donc pas utiliser la réciproque pour prouver le parallélisme. Ici, on peut même prouver que les droites ne sont pas parallèles : si elles l’étaient, le théorème de Thalès donnerait des rapports égaux, ce qui contredit les longueurs données.

À retenir

Vérifier les alignements et l’ordre des points avant de calculer.
Comparer des rapports de longueurs correspondants, exprimées dans la même unité.
Prouver une égalité exacte, sans se contenter de valeurs arrondies.
Alignements, même ordre et rapports égaux : la réciproque de Thalès permet de conclure au parallélisme.
Citer la réciproque du théorème de Thalès dans la conclusion.

Les mots de la leçon

Réciproque: Propriété qui échange le rôle des conditions et de la conclusion d’une autre propriété. Une réciproque doit être démontrée pour pouvoir être utilisée.
Rapport de longueurs: Quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité, par exemple AM/AB.
Droites sécantes: Droites qui se coupent en un point.
Produits en croix: Produits permettant de comparer deux fractions : lorsque les dénominateurs sont non nuls, a/b = c/d équivaut à a × d = c × b.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeDans un triangle OAB, place M sur le segment [OA] et N sur le segment [OB]. Si M et N occupent la même proportion de leur côté, c’est-à-dire si OM/OA = ON/OB, alors la réciproque du théorème de Thalès permet de prouver que (MN) et (AB) sont parallèles. Avant de comparer les rapports, vérifie toujours les alignements et l’ordre des points.

Dans un triangle OAB, M est le milieu de [OA] et N est le milieu de [OB]. Prouve que les droites (MN) et (AB) sont parallèles avec la réciproque du théorème de Thalès.

Les points O, M, A sont alignés dans cet ordre. Les points O, N, B sont également alignés dans cet ordre.Un milieu appartient au segment concerné : M et N sont donc placés dans le même ordre sur les côtés issus de O.
OM est la moitié de OA et ON est la moitié de OB. Ainsi, OM/OA = ON/OB.Chaque rapport compare une moitié à la longueur entière correspondante.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AB) sont parallèles.Les alignements, l’ordre des points et l’égalité des rapports correspondants ont été vérifiés.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Établir le parallélisme de deux droites en vérifiant l’alignement et l’ordre des points ainsi que l’égalité des rapports de longueurs correspondants.
Au programme: 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Avant de commencer: Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
Combien de temps: Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers