Exprimer une situation de proportionnalité par une fonction linéaire

Une fonction linéaire permet de décrire une situation de proportionnalité et de calculer une grandeur à partir d’une autre. On l’utilise, par exemple, pour exprimer un prix en fonction d’une masse ou une distance en fonction d’une durée.

Le cours

1. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de la seconde s’obtiennent en multipliant celles de la première par un même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité. Avant de calculer, il faut préciser quelle grandeur est connue au départ et quelle grandeur on veut exprimer.

2. Si x désigne la grandeur de départ et a le coefficient de proportionnalité, la grandeur obtenue s’écrit a × x. La fonction qui les relie est la fonction linéaire f définie par f(x) = ax, ou notée f : x ↦ ax. L’écriture f(x) se lit « f de x » et désigne la valeur obtenue pour x.

3. Pour déterminer le coefficient a à partir de deux valeurs correspondantes, on divise la valeur obtenue par la valeur de départ : a = f(x) / x, avec x ≠ 0. Dans un tableau, on vérifie que ce quotient est le même pour toutes les colonnes où la valeur de départ est non nulle. Attention au sens du quotient et aux unités : pour un prix exprimé en fonction d’une masse en kilogrammes, le coefficient s’exprime en euros par kilogramme.

4. Pour modéliser une situation, on choisit la grandeur représentée par x, on identifie le coefficient a, puis on écrit f(x) = ax en précisant les unités. Pour calculer une valeur, on remplace ensuite x par la valeur donnée. Les valeurs de x doivent avoir un sens dans la situation : une masse ou une durée ne peut pas être négative.

5. Toute fonction linéaire vérifie f(0) = 0. Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine du repère. Une situation comportant une somme fixe ajoutée au montant proportionnel n’est donc pas décrite par une fonction linéaire. Attention : le seul fait d’associer zéro à zéro ne suffit pas à prouver la proportionnalité ; il faut un coefficient multiplicateur constant.

Des exemples

• Un tissu est vendu au mètre, à prix constant et sans frais supplémentaires. Une longueur de 8 mètres coûte 37,6 euros. Écris la fonction f qui donne le prix en euros d’une longueur x en mètres.

  Le prix est proportionnel à la longueur. On cherche le coefficient k tel que 8 × k = 37,6. En divisant le prix par la longueur, on obtient k = 37,6 ÷ 8 = 47/10, en euros par mètre. La fonction cherchée est donc f(x) = 47/10 × x.

• Un mobile avance à la vitesse constante de 13 mètres par seconde. Écris la fonction d qui donne la distance parcourue en mètres pendant une durée t en secondes, puis calcule la distance parcourue en 19 secondes.

  À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse, soit 13. On écrit donc d(t) = 13 × t. Pour une durée de 19 secondes, d(19) = 13 × 19 = 247. Le mobile parcourt donc 247 mètres.