Mathématiques · 3e · environ 10 min
Lire les antécédents d’un nombre sur un graphique
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine une ligne horizontale passant par le nombre demandé sur l’axe vertical. Marque toutes ses rencontres avec la courbe, y compris lorsqu’elle touche seulement un sommet. Depuis chaque point marqué, trace une verticale jusqu’à l’axe horizontal et lis l’abscisse.
La lecture dépend de la précision du graphique. Si une abscisse tombe entre deux graduations, donne une valeur approchée lorsque la consigne le permet.
Sur un graphique imprimé, pose une règle horizontalement à la hauteur demandée. Marque au crayon chaque rencontre avec la courbe. Puis utilise le bord d’une feuille, placé verticalement, pour reporter chaque rencontre sur l’axe horizontal. Vérifie les graduations avant de noter les valeurs.
La règle doit rester parallèle à l’axe horizontal. Une courbe épaisse ou un graphique peu précis ne permet pas toujours une lecture exacte.
Un nombre est un antécédent du nombre demandé si le point de la courbe placé à cette abscisse atteint exactement la hauteur demandée. Pour vérifier une réponse, pars donc de l’abscisse proposée, rejoins verticalement la courbe, puis lis son ordonnée. Vérifie aussi que tu n’as oublié aucune autre rencontre à cette hauteur.
Vérifier une seule abscisse prouve qu’elle convient, mais ne prouve pas qu’elle est la seule. Il faut examiner toute la courbe représentée.
Les pièges
Donner l’ordonnée demandée au lieu d’un antécédent.
Tu as repéré la bonne hauteur. Rejoins maintenant la courbe à cette hauteur, puis descends vers l’axe horizontal pour lire la réponse.
S’arrêter à la première rencontre avec la courbe.
La rencontre trouvée convient. Continue à suivre la même horizontale sur toute la largeur du graphique pour chercher les autres.
Ne pas compter un point où l’horizontale touche seulement la courbe.
Le point touché appartient bien à la courbe et possède l’ordonnée demandée. Son abscisse doit donc être conservée.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Lire les antécédents d’un nombre sur un graphique permet de retrouver les valeurs de départ qui donnent ce nombre comme résultat. On s’en sert lorsqu’une fonction est représentée par une courbe, sans avoir besoin de connaître sa formule.
Le cours
Un antécédent d’un nombre k par une fonction f est un nombre x tel que f(x) = k. Sur le graphique de f, cela correspond à un point de la courbe dont l’ordonnée est k : son abscisse x est alors un antécédent de k.
Pour chercher les antécédents de k, repère k sur l’axe des ordonnées, l’axe vertical. Trace ou imagine la droite horizontale qui passe par cette graduation : tous ses points ont pour ordonnée k.
Repère tous les points d’intersection entre cette droite horizontale et la courbe. Depuis chacun de ces points, rejoins verticalement l’axe des abscisses, l’axe horizontal. Les abscisses lues sont tous les antécédents recherchés.
Un nombre peut avoir aucun, un seul ou plusieurs antécédents. Si la droite horizontale ne rencontre pas la courbe, il n’y a aucun antécédent sur le domaine représenté. Si elle rencontre la courbe, chaque point d’intersection compte, même lorsque la droite touche la courbe sans la traverser.
Vérifie les graduations de chaque axe avant de lire les coordonnées : elles peuvent être différentes d’un axe à l’autre. Si la lecture ne permet pas de donner une valeur exacte, indique une valeur approchée. Ne prolonge pas la courbe au-delà de ce qui est représenté sans indication.
Des exemples
Une fonction f est représentée par la droite d’équation y = 4x + 7. On cherche graphiquement l’antécédent de 59. Comment le lire ?
On repère 59 sur l’axe vertical, puis on suit l’horizontale jusqu’à la droite représentant f. Depuis le point d’intersection, on descend verticalement vers l’axe horizontal : on lit 13. La droite n’étant pas horizontale, il n’y a pas d’autre intersection : 59 a pour unique antécédent 13. La formule permet de vérifier cette lecture en résolvant 4x + 7 = 0x + 59.
Une fonction g est représentée par la droite d’équation y = -3x + 5. On cherche graphiquement tous les antécédents de 38.
On trace l’horizontale passant par l’ordonnée 38. Elle rencontre la droite représentant g en un seul point. En rejoignant verticalement l’axe des abscisses depuis ce point, on lit -11, à gauche de l’origine. L’unique antécédent de 38 est donc -11 : un antécédent peut être négatif. On peut vérifier la lecture en résolvant -3x + 5 = 0x + 38.
À retenir
- Le nombre dont on cherche les antécédents se repère sur l’axe vertical.
- On cherche toutes les intersections de la courbe avec l’horizontale correspondante.
- Les antécédents se lisent sur l’axe horizontal.
- Un nombre peut avoir aucun, un seul ou plusieurs antécédents.
- Une lecture graphique peut être approchée : il faut tenir compte des graduations.
Les mots de la leçon
- Antécédent
- Nombre de départ qui donne un résultat donné par une fonction. Dire que x est un antécédent de k signifie que f(x) = k.
- Image
- Résultat obtenu en appliquant une fonction à un nombre. Dans l’égalité f(x) = k, k est l’image de x.
- Abscisse
- Coordonnée d’un point qui se lit sur l’axe horizontal.
- Ordonnée
- Coordonnée d’un point qui se lit sur l’axe vertical.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour trouver les antécédents d’un nombre, repère ce nombre sur l’axe vertical et suis une horizontale jusqu’à la courbe. À chaque rencontre, descends verticalement vers l’axe horizontal : les abscisses lues sont les antécédents cherchés. Attention, une même horizontale peut rencontrer la courbe plusieurs fois, ou ne pas la rencontrer.
Sur un graphique, l’horizontale d’ordonnée k rencontre une courbe en trois points : A, B et C. Leurs projections sur l’axe horizontal portent respectivement les étiquettes p, q et r. Quels sont les antécédents de k ?
- Repère k sur l’axe vertical et suis l’horizontale qui passe par ce repère.Tous les points de cette horizontale ont la même ordonnée k.
- Repère toutes les rencontres avec la courbe : A, B et C.Chaque point de la courbe situé à cette hauteur correspond à un antécédent.
- Depuis chaque rencontre, descends verticalement vers l’axe horizontal.Un antécédent se lit sur l’axe des abscisses, et non sur l’axe des ordonnées.
- Réponds : les antécédents de k sont p, q et r.Ces trois abscisses donnent toutes la même image k.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Repérer sur la courbe d’une fonction tous les points ayant une ordonnée donnée et lire leurs abscisses pour identifier les antécédents correspondants.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers