Reconnaître une situation de proportionnalité

La proportionnalité permet de relier des quantités, par exemple une masse de fruits et son prix. La reconnaître aide à savoir si l’on peut calculer une quantité en multipliant l’autre toujours par le même nombre.

Le cours

1. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on obtient chaque valeur de la seconde en multipliant la valeur correspondante de la première par un même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. Il peut être entier ou décimal.

2. Par exemple, si des pommes sont vendues à un prix par kilogramme constant, sans réduction ni frais supplémentaires, leur prix est proportionnel à leur masse. Le coefficient de proportionnalité est alors le prix par kilogramme.

3. Pour reconnaître une situation de proportionnalité dans un tableau, on cherche le nombre qui permet de passer d’une valeur de la première grandeur à la valeur correspondante de la seconde. On vérifie ensuite que ce même nombre convient à toutes les autres paires de valeurs. Si aucun nombre ne convient partout, la situation n’est pas proportionnelle.

4. Dans une situation de proportionnalité, si une quantité double, la quantité correspondante double aussi ; si elle est divisée par trois, l’autre est également divisée par trois. On peut donc prouver qu’une situation n’est pas proportionnelle en trouvant une paire de valeurs qui ne respecte pas cette règle. Pour affirmer qu’elle est proportionnelle, il faut vérifier toutes les données disponibles ou s’appuyer sur une règle valable pour toute la situation.

5. Attention : deux grandeurs ne sont pas forcément proportionnelles simplement parce qu’elles augmentent ensemble ou régulièrement. Des frais fixes ajoutés à un prix empêchent, par exemple, la proportionnalité avec la quantité achetée. De plus, dans une situation de proportionnalité, une quantité nulle correspond à une quantité nulle, mais cette seule vérification ne suffit pas à prouver la proportionnalité.

Des exemples

• Des carnets identiques coûtent 7 € chacun, sans réduction ni frais supplémentaires. On achète 13 carnets. Le prix total est-il proportionnel au nombre de carnets ?

  Oui. Pour n’importe quelle quantité achetée, on multiplie le nombre de carnets par 7 pour obtenir le prix en euros. Le coefficient de proportionnalité est donc 7. Pour 13 carnets, le prix est 13 × 7 = 91 €.

• Un transporteur facture 9 € de frais fixes, auxquels il ajoute un prix proportionnel à la masse du colis. Pour un colis, la partie liée à la masse coûte 17 €. Le prix total est-il proportionnel à la masse du colis ?

  Non. Pour ce colis, le prix total est 9 + 17 = 26 €. Si la masse du colis double, seule la partie liée à la masse double : les frais fixes de 9 € restent inchangés. Le prix total ne double donc pas. La masse et le prix total ne sont pas proportionnels.

• Un carré a un côté de 8 cm. On peut agrandir ou réduire ce carré. Son aire est-elle proportionnelle à la longueur de son côté ?

  Non. Pour le carré donné, l’aire vaut 8 × 8 = 64 cm². Lorsqu’on double la longueur du côté, la longueur et la largeur doublent : l’aire est alors multipliée par quatre, au lieu de doubler. L’aire et la longueur du côté ne sont donc pas proportionnelles.