Mathématiques · CM2 · environ 15 min
Résoudre un problème de proportionnalité en plusieurs étapes
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine une case par objet acheté et barre les objets rendus. À côté, dessine une petite case séparée pour les frais de livraison. Le montant payé couvre les cases non barrées et la livraison. Retire les frais, puis partage ce qui reste entre les cases non barrées.
Les objets doivent avoir le même prix et les objets rendus doivent être remboursés entièrement. Les frais doivent être connus.
Pour comparer deux collections de même taille, représente chaque sachet par une enveloppe fermée et chaque objet isolé par un jeton. Mets les deux collections sur deux zones de la table. Retire une enveloppe de chaque côté tant que c’est possible, puis retire autant de jetons de chaque côté. Les enveloppes restantes d’un côté contiennent autant d’objets que les jetons restants de l’autre. Répartis ces jetons également entre les enveloppes.
Toutes les enveloppes doivent représenter des sachets de même contenu. Les deux collections doivent avoir le même nombre total d’objets.
Demande-toi d’abord ce qu’il te manque pour répondre. Pour trouver un nombre d’entrées, il te faut la somme disponible pour les entrées et le prix réellement payé pour chacune. Retire donc les frais fixes du budget et la réduction du prix de chaque entrée. Ensuite, cherche combien de fois le prix réduit tient dans la somme disponible.
La même réduction doit s’appliquer à chaque entrée. Les frais fixes se retirent une seule fois, pas pour chaque personne.
Les pièges
Utiliser le montant total comme si tout avait le même prix.
Repère ce qui est payé une seule fois. Retire cette somme avant de chercher le prix des objets identiques.
Partager entre tous les objets du début.
Dessine les objets et barre ceux qui ne sont plus concernés. Compte ensuite ceux qui restent.
S’arrêter à une différence sans chercher ce qu’elle représente.
Dis à voix haute : « Cette différence correspond à… » Si elle correspond à plusieurs sachets, il reste à partager.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
La proportionnalité permet de calculer une quantité ou un prix à partir d’informations connues. Certains problèmes demandent plusieurs calculs : il faut alors trouver les informations manquantes dans le bon ordre.
Le cours
Une situation est proportionnelle lorsque les quantités et les prix varient de la même façon : si on achète deux fois plus d’objets identiques au même prix, on paie deux fois plus cher. Pour utiliser ce raisonnement, vérifie que le prix de chaque objet reste le même, sans réduction particulière.
Commence par repérer ce que tu cherches et les informations utiles. Demande-toi ensuite : « Que dois-je connaître avant de pouvoir répondre ? » Par exemple, tu peux avoir besoin de trouver le prix des objets sans l’emballage, puis le prix d’un objet.
Pour passer d’une quantité connue à une autre, tu peux chercher la valeur pour une unité : divise le prix des objets par leur nombre, puis multiplie ce prix à l’unité par la quantité voulue. Tu peux aussi multiplier ou diviser directement les deux quantités par le même nombre lorsque c’est plus simple.
Attention aux frais ajoutés, comme un emballage ou une livraison : ils ne sont pas forcément proportionnels au nombre d’objets. Sépare-les du prix des objets avant de raisonner. Selon la question, il faudra les retirer au début ou les ajouter à la fin.
Présente tes calculs dans l’ordre et explique avec des mots ce que chacun permet de trouver. Garde les unités, termine par une phrase qui répond à la question et vérifie ton résultat : en refaisant le chemin en sens inverse, tu dois retrouver les informations de départ.
Des exemples
Une commande contient 7 carnets identiques, tous au même prix, et une pochette à 9 €. Le total est de 65 €. Quel est le prix d’un carnet ?
Je commence par retirer le prix de la pochette : 65 − 9 donne le prix de tous les carnets. Je divise ensuite cette somme par 7, puisque les carnets coûtent tous le même prix : (65 − 9) ÷ 7 = 8. Un carnet coûte donc 8 €. Pour vérifier, je multiplie ce prix par 7, puis j’ajoute 9 € : je dois retrouver 65 €.
Une association dépense exactement 113 € pour acheter des sachets de graines à 6 € chacun et payer 11 € de livraison. Le prix de chaque sachet est le même, quelle que soit la quantité commandée. Combien de sachets achète-t-elle ?
Je cherche d’abord la somme consacrée aux sachets : je retire les frais de livraison du total, soit 113 − 11. Chaque sachet coûte 6 € ; je divise donc la somme restante par 6 : (113 − 11) ÷ 6 = 17. L’association achète 17 sachets. Pour vérifier, je calcule le prix de ces sachets, puis j’ajoute la livraison : je dois retrouver 113 €.
À retenir
- Vérifie que la situation est proportionnelle avant de calculer.
- Repère ce que tu dois trouver à chaque étape.
- Pour trouver le prix à l’unité, divise le prix des objets par leur nombre.
- Traite séparément les frais fixes, comme la livraison.
- Explique tes calculs avec des mots et indique les unités.
- Vérifie ton résultat et réponds par une phrase.
Les mots de la leçon
- Proportionnalité
- Lien entre deux quantités : quand on multiplie ou divise l’une par un nombre, l’autre est multipliée ou divisée par ce même nombre.
- Prix à l’unité
- Prix d’un seul objet ou d’une seule unité de mesure, par exemple le prix d’un kilogramme de pommes.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeTu achètes plusieurs sachets de graines au même prix, puis tu en rapportes quelques-uns au magasin. Pour retrouver le prix d’un sachet, cherche combien de sachets tu gardes, enlève les frais éventuels du montant payé, puis partage la somme restante entre les sachets gardés.
Une association commande neuf boîtes de craies identiques et paie quatre euros de livraison. Elle rend trois boîtes, qui sont remboursées entièrement, mais les frais de livraison restent à payer. Elle a finalement dépensé cinquante-deux euros. Quel est le prix d’une boîte ?
- Cherche combien de boîtes sont gardées : neuf moins trois.Les boîtes rendues ne sont plus à payer.
- Cherche la somme payée seulement pour les boîtes : cinquante-deux euros moins quatre euros.La livraison ne fait pas partie du prix des boîtes.
- Divise la somme consacrée aux boîtes par le nombre de boîtes gardées.Toutes les boîtes ont le même prix : cette division donne le prix d’une boîte.
- Explique : « J’ai retiré les boîtes rendues et les frais de livraison, puis j’ai partagé le prix des boîtes entre les boîtes gardées. »Ton explication montre à quoi sert chaque calcul.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Déterminer une quantité ou un prix dans un problème de proportionnalité à plusieurs étapes et expliquer les calculs en langage courant, sans tableau de proportionnalité.
- Au programme
- CM2 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers