Définir la proportionnalité et la relier au langage courant

La proportionnalité permet de relier des quantités et de prévoir comment elles varient ensemble. On l’utilise notamment pour calculer un prix, adapter une recette ou comparer des achats.

Le cours

1. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs correspondantes de l’autre par un même nombre. Ce nombre, qui reste le même pour toutes les valeurs, s’appelle le coefficient de proportionnalité.

2. Par exemple, lorsque des pommes sont vendues à prix unitaire constant, le prix à payer s’obtient en multipliant la masse achetée par le prix d’un kilogramme. La masse de pommes et le prix sont donc proportionnels. Les unités doivent rester les mêmes dans toute la comparaison.

3. Dans une situation de proportionnalité, multiplier une quantité par un nombre revient à multiplier la quantité correspondante par ce même nombre. C’est le sens de l’expression « deux fois plus de quantité, deux fois plus cher ». De même, une quantité divisée par deux correspond à un prix divisé par deux.

4. Pour reconnaître une situation de proportionnalité, on cherche si le même nombre multiplicateur permet de passer de chaque valeur d’une grandeur à la valeur correspondante de l’autre. Dans un tableau, il doit convenir à toutes les colonnes : une seule correspondance ne suffit pas pour conclure.

5. Attention : deux grandeurs qui augmentent ensemble ne sont pas forcément proportionnelles. Par exemple, si un prix comprend des frais fixes ajoutés au montant des achats, doubler le montant des achats ne double pas le total à payer. Ajouter toujours le même nombre n’est pas la même chose que multiplier toujours par le même nombre.

Des exemples

• Des poires sont vendues à prix unitaire constant, à 2,80 € le kilogramme. Quel est le prix de 17 kg de poires ?

  Le prix s’obtient en multipliant la masse en kilogrammes par 2,80. Pour 17 kg, on calcule 17 × 2,80 = 238/5 €. Comme le prix par kilogramme reste constant, la masse achetée et le prix sont proportionnels. Le coefficient permettant de passer de la masse au prix est 2,80.

• Une recette utilise 135 g de farine. Pour préparer 3 fois cette recette en conservant les mêmes proportions, quelle masse de farine faut-il ?

  Pour préparer 3 fois la recette, il faut 3 fois la masse de chaque ingrédient. On calcule donc, pour la farine : 135 × 3 = 405 g. Faire « 3 fois la recette » revient ici à multiplier toutes les quantités par 3.

• Un magasin ajoute des frais de livraison fixes de 7 € au montant de chaque commande. Pour une commande d’articles coûtant 26 €, quel est le total à payer ? Le total est-il proportionnel au montant des articles ?

  Le total est 26 + 7 = 33 €. On ajoute des frais fixes de 7 € au lieu de multiplier le montant des articles par un même nombre pour toutes les commandes. Si le montant des articles double, les frais de livraison restent identiques : le total ne double donc pas. Ces grandeurs ne sont pas proportionnelles.