Reconnaître une situation de proportionnalité

Reconnaître une situation de proportionnalité permet de savoir si l’on peut calculer une quantité à partir d’une autre en multipliant toujours par le même nombre. On s’en sert notamment pour étudier des prix, des recettes ou des distances.

Le cours

1. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on obtient les valeurs de la seconde en multipliant les valeurs de la première par un même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. Par exemple, si chaque cahier coûte le même prix et qu’il n’y a ni réduction ni frais supplémentaires, le prix total est proportionnel au nombre de cahiers.

2. Pour décider, commence par repérer les deux grandeurs et par lire les conditions de l’énoncé. Un prix à l’unité constant ou une vitesse constante peuvent indiquer une proportionnalité. En revanche, des frais fixes ou un tarif qui change selon la quantité peuvent empêcher la proportionnalité.

3. Dans un tableau, cherche par quel nombre multiplier une valeur de la première ligne pour obtenir la valeur correspondante de la seconde ligne. Vérifie que ce même nombre convient à toutes les colonnes. Pour le trouver, tu peux diviser une valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première, si cette dernière n’est pas nulle.

4. Dans une situation de proportionnalité, si une quantité double, l’autre double aussi ; si elle triple, l’autre triple aussi. Pour montrer qu’une situation n’est pas proportionnelle, un seul contre-exemple suffit : si une quantité double mais que l’autre ne double pas, la proportionnalité est impossible. De même, une quantité nulle doit correspondre à une quantité nulle, mais cette condition ne suffit pas à prouver la proportionnalité.

5. Justifie toujours ta décision : indique le coefficient qui convient à toutes les valeurs et explique pourquoi il reste constant, ou présente un contre-exemple. Attention : deux grandeurs qui augmentent ensemble ne sont pas forcément proportionnelles. Une seule paire de valeurs ne suffit pas non plus à établir une proportionnalité si les conditions de l’énoncé ne la garantissent pas.

Des exemples

• Une boutique vend des carnets à 7 euros chacun, sans réduction ni frais supplémentaires. Un client achète 13 carnets. Le prix total est-il proportionnel au nombre de carnets ?

  Oui, car chaque carnet coûte toujours 7 euros. Pour obtenir le prix total, on multiplie le nombre de carnets par 7 : le coefficient de proportionnalité est donc 7. Pour 13 carnets, le prix est 13 × 7 = 91 euros.

• Une salle de loisirs facture un forfait obligatoire de 16 euros, auquel s’ajoutent 7 euros par séance. Le montant total payé est-il proportionnel au nombre de séances ?

  Non. Une séance coûte au total 16 + 7 = 23 euros. Si le nombre de séances double, la partie payée pour les séances double, mais le forfait de 16 euros reste inchangé : le montant total ne double donc pas. Ce forfait empêche la proportionnalité.

• Un cycliste roule à vitesse constante et parcourt 14 kilomètres par heure. Il roule pendant 3 heures, sans arrêt. La distance parcourue est-elle proportionnelle à la durée du trajet ?

  Oui. Puisque la vitesse reste constante, on obtient toujours la distance en multipliant la durée en heures par 14. Le coefficient de proportionnalité est 14. En 3 heures, le cycliste parcourt 14 × 3 = 42 kilomètres.