Distinguer les situations proportionnelles des autres situations

La proportionnalité permet de reconnaître des situations où deux grandeurs varient ensemble selon une même règle de multiplication. On l’utilise, par exemple, pour comparer des prix, des quantités ou des distances et vérifier si un calcul proportionnel est possible.

Le cours

1. Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on obtient toutes les valeurs de la seconde en multipliant les valeurs correspondantes de la première par un même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. Il peut être entier ou décimal.

2. Dans un énoncé, repère les deux grandeurs et cherche la règle qui les relie. Par exemple, si des pommes sont vendues à un prix au kilogramme qui ne change pas, sans frais supplémentaires ni réduction, le prix est proportionnel à la masse achetée. Un supplément fixe ou un tarif qui change peut empêcher la proportionnalité.

3. Dans un tableau, chaque colonne doit associer deux valeurs qui se correspondent. Pour vérifier la proportionnalité, divise chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première ligne, lorsque celle-ci n’est pas nulle. Les quotients doivent tous être égaux. Par exemple, avec les masses 3 kg, 7 kg et 12 kg et les prix correspondants 12 €, 28 € et 48 €, on obtient toujours le coefficient 4 : le tableau est proportionnel.

4. Pour montrer qu’un tableau n’est pas proportionnel, un seul contre-exemple suffit. Si 2 objets coûtent 10 € et si 5 objets coûtent 22 €, les quotients sont différents : 10 ÷ 2 = 5, tandis que 22 ÷ 5 = 4,4. Il n’existe donc pas de coefficient commun à toutes les colonnes.

5. Dans une situation proportionnelle, si une quantité double, la valeur correspondante double aussi. Si ce n’est pas le cas, la situation n’est pas proportionnelle. Attention : constater que les valeurs augmentent ensemble ne suffit pas. Pour conclure à la proportionnalité, il faut une règle multiplicative constante dans l’énoncé ou un coefficient commun à toutes les colonnes du tableau.

Des exemples

• Des boîtes identiques coûtent 13 € chacune, sans réduction ni frais supplémentaires. Un client achète 6 boîtes. Le prix total est-il proportionnel au nombre de boîtes ?

  Oui. Quel que soit le nombre de boîtes, on le multiplie toujours par 13 pour obtenir le prix en euros. Le coefficient de proportionnalité est donc 13. Pour 6 boîtes, le prix est 6 × 13 = 78 €.

• Une location de vélo comprend 11 € de frais fixes, auxquels s’ajoute un prix calculé selon la durée, à tarif horaire constant. Pour une certaine durée, la partie liée à la durée coûte 26 €. Le prix total est-il proportionnel à la durée de location ?

  Non. Pour la durée indiquée, le prix total est 11 + 26 = 37 €. Si la durée double, seule la partie liée à la durée double : le nouveau prix est 11 + 26 + 26. Ce prix est inférieur à 37 + 37, car les frais fixes ne sont payés qu’une fois. La durée double, mais pas le prix total : c’est un contre-exemple à la proportionnalité.