Mathématiques · 4e · environ 15 min
Prouver qu’un triangle est rectangle avec la réciproque de Pythagore
Il aide de savoir :Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un triangle, puis imagine un carré construit sur chacun de ses côtés. L’aire de chaque carré est le carré de la longueur du côté correspondant. Si l’aire du carré construit sur le plus grand côté est exactement égale à la somme des aires des deux autres carrés, la réciproque de Pythagore prouve que le triangle est rectangle. Repère ensuite le sommet qui ne touche pas le plus grand côté : c’est celui de l’angle droit.
Le dessin aide à comprendre, mais il ne prouve pas une égalité. Il faut des longueurs ou des aires exactes, pas seulement des mesures approximatives sur la figure.
Pour organiser ta preuve, pars des longueurs : elles te permettent de repérer le plus grand côté. Vérifie ensuite par le calcul l’égalité des carrés. Cette égalité te permet d’utiliser la réciproque de Pythagore, puis la position du plus grand côté t’indique où se trouve l’angle droit. Si BC est le plus grand côté, tu peux conclure ainsi : « BC² = AB² + AC², donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A. »
Cette conclusion exige une égalité exacte. Une égalité obtenue seulement après un arrondi ne suffit pas.
Compare ces raisonnements : « Le triangle est rectangle, donc ses longueurs vérifient l’égalité de Pythagore » et « Les longueurs vérifient l’égalité de Pythagore, donc le triangle est rectangle ». Le premier utilise le théorème : l’angle droit est déjà connu. Le second utilise la réciproque : c’est celui qu’il faut choisir pour prouver l’existence de l’angle droit à partir des longueurs.
Avant d’utiliser la réciproque, vérifie réellement l’égalité avec le plus grand côté isolé. Le mot « réciproque » ne remplace pas les calculs.
Les pièges
Isoler le carré d’un côté qui n’est pas le plus grand.
Tu as commencé la comparaison avec un autre côté. Repère d’abord la plus grande longueur, puis place son carré seul d’un côté de l’égalité.
Nommer un angle droit à une extrémité du plus grand côté.
Ta vérification peut être correcte même si le sommet choisi ne l’est pas. Barre mentalement les lettres du plus grand côté : la lettre restante nomme le sommet de l’angle droit.
Affirmer que le triangle est rectangle avant d’avoir vérifié l’égalité.
Garde la conclusion pour la fin. Compare les carrés à partir des longueurs données, puis cite la réciproque seulement si l’égalité est exacte.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
La réciproque du théorème de Pythagore permet de prouver qu’un triangle est rectangle lorsque l’on connaît les longueurs de ses trois côtés. Elle permet aussi de préciser où se trouve son angle droit, sans se fier à l’apparence du dessin.
Le cours
Réciproque du théorème de Pythagore : si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Son angle droit est opposé au plus grand côté.
Pour appliquer cette propriété, commence par exprimer toutes les longueurs dans la même unité. Repère ensuite le plus grand côté : c’est son carré que tu dois comparer à la somme des carrés des deux autres longueurs.
Calcule séparément le carré de la plus grande longueur et la somme des carrés des deux autres longueurs. Si les résultats sont égaux, cite la réciproque du théorème de Pythagore et conclus que le triangle est rectangle, en précisant le sommet de l’angle droit.
Par exemple, dans un triangle ABC dont le plus grand côté est [BC], si BC au carré = AB au carré + AC au carré, alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A. Le sommet A est celui qui n’appartient pas au côté [BC].
Attention au sens du raisonnement : le théorème de Pythagore part d’un triangle déjà connu comme rectangle ; sa réciproque sert à prouver qu’il est rectangle. Si les résultats calculés sont différents, le triangle n’est pas rectangle : cette conclusion repose sur le fait qu’un triangle rectangle vérifierait nécessairement l’égalité de Pythagore.
Des exemples
Dans le triangle ABC, AB = 6 cm et AC = 8 cm. La longueur BC est égale à AB augmentée de la moitié de AC. Prouve que ce triangle est rectangle et précise en quel sommet.
La longueur BC vaut 6 cm plus la moitié de 8 cm, soit 10 cm : c’est le plus grand côté. On calcule séparément BC au carré et AB au carré + AC au carré. On vérifie que (6 + la moitié de 8) au carré = 6 au carré + 8 au carré. Ainsi, BC au carré = AB au carré + AC au carré. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A, sommet opposé à [BC].
Dans le triangle DEF, DE = 5 cm et EF = 12 cm. La longueur DF est égale à EF augmentée du cinquième de DE. Prouve que ce triangle est rectangle et précise en quel sommet.
La longueur DF vaut 12 cm plus le cinquième de 5 cm, soit 13 cm : c’est le plus grand côté. On calcule séparément DF au carré et DE au carré + EF au carré. On vérifie que (12 + le cinquième de 5) au carré = 5 au carré + 12 au carré. Ainsi, DF au carré = DE au carré + EF au carré. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en E, sommet opposé à [DF].
À retenir
- Exprime toutes les longueurs dans la même unité.
- Repère d’abord le plus grand côté.
- Compare son carré à la somme des carrés des deux autres longueurs.
- Si les résultats sont égaux, cite la réciproque de Pythagore pour conclure.
- L’angle droit est opposé au plus grand côté.
- Un dessin qui semble rectangle ne constitue pas une preuve.
Les mots de la leçon
- Réciproque du théorème de Pythagore
- Propriété qui permet de prouver qu’un triangle est rectangle à partir d’une égalité entre les carrés des longueurs de ses côtés.
- Carré d’un nombre
- Produit de ce nombre par lui-même.
- Hypoténuse
- Dans un triangle rectangle, côté opposé à l’angle droit. C’est le plus long côté du triangle. On emploie ce nom une fois que l’on sait que le triangle est rectangle.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans un triangle ABC, AB mesure 6 cm, AC mesure 8 cm et BC mesure 10 cm. Le plus grand côté est BC et l’égalité BC² = AB² + AC² est vérifiée : la réciproque du théorème de Pythagore permet donc de prouver que le triangle est rectangle en A, le sommet opposé à BC.
Le triangle DEF a pour longueurs DE = 20 cm, DF = 21 cm et EF = 29 cm. Prouve qu’il est rectangle et précise son angle droit.
- EF est le plus grand côté.Il faut comparer le carré du plus grand côté avec la somme des carrés des deux autres.
- On calcule séparément EF² et DE² + DF².Une impression sur un dessin ne suffit pas : il faut vérifier une égalité exacte.
- On constate que EF² = DE² + DF².Les longueurs vérifient l’égalité nécessaire pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
- D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en D.L’angle droit est opposé au plus grand côté EF : il se trouve donc au sommet D.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Établir qu’un triangle est rectangle à partir des longueurs de ses trois côtés et identifier son angle droit.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Avant de commencer
- Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers