Mathématiques · 4e · environ 15 min
Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un triangle rectangle, marque l’angle droit et construis un carré sur chacun de ses côtés. Appelle h la longueur de l’hypoténuse, et u et v celles des autres côtés. Les aires vérifient h² = u² + v². Si tu cherches h, rassemble les aires u² et v². Si tu cherches u, retire l’aire v² de l’aire h². Attention : ce sont les aires des carrés qui s’additionnent, pas les longueurs des côtés.
Cette égalité s’applique à un triangle rectangle. Un dessin qui semble rectangle ne suffit pas : l’angle droit doit être donné ou établi.
Commence toujours par écrire h² = u² + v², avec h pour l’hypoténuse. Ensuite seulement, regarde ce qui manque. Si h manque, son carré est une somme : h = √(u² + v²). Si u manque, enlève v² des deux côtés : u = √(h² − v²). Garde les carrés et les racines jusqu’à la fin du calcul pour éviter un arrondi trop tôt.
Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité. Dans la soustraction, le carré de l’hypoténuse vient en premier.
Pour une hypoténuse h et des côtés u et v, compare les propositions h = u + v et h = √(u² + v²). La première additionne les longueurs comme si tu suivais les deux côtés de l’angle droit. La seconde utilise bien Pythagore. Vérifie ensuite que l’hypoténuse obtenue dépasse chacun des deux autres côtés, mais reste inférieure à leur somme. Ce contrôle aide à repérer une erreur ; il ne remplace pas le calcul.
Un résultat qui respecte ces comparaisons n’est pas forcément exact. Il faut aussi vérifier l’égalité de Pythagore.
Les pièges
Choisir l’hypoténuse d’après l’orientation du dessin.
Repère d’abord l’angle droit. Le côté qui ne touche pas son sommet est l’hypoténuse, même si tu tournes la feuille.
Additionner systématiquement les carrés.
Écris l’égalité avec les noms des côtés avant de remplacer les longueurs. Tu verras alors quelle quantité ajouter ou soustraire.
S’arrêter après avoir calculé le carré de la longueur.
Regarde le membre de gauche : si la longueur porte encore un carré, prends la racine carrée avant de conclure avec l’unité.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle quand on connaît les longueurs des deux autres côtés. Il sert aussi bien à trouver l’hypoténuse qu’un côté de l’angle droit.
Le cours
Avant de calculer, vérifie que le triangle est rectangle et repère son hypoténuse : c’est le côté opposé à l’angle droit, et aussi le plus long côté. Exprime toutes les longueurs dans la même unité.
Le théorème de Pythagore dit que, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ainsi, si le triangle ABC est rectangle en A, son hypoténuse est BC et on a : BC² = AB² + AC².
Pour calculer l’hypoténuse, additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit, puis prends la racine carrée du résultat : BC = √(AB² + AC²). Attention : on additionne les carrés des longueurs, pas les longueurs elles-mêmes.
Pour calculer un côté de l’angle droit, soustrais du carré de l’hypoténuse le carré du côté connu, puis prends la racine carrée du résultat. Par exemple, pour chercher AB : AB² = BC² − AC², donc AB = √(BC² − AC²). On soustrait toujours le petit carré du grand.
La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif dont le carré donne ce nombre. Par exemple, √64 = 8 car 8² = 64. Si la racine carrée n’est pas un nombre entier, garde l’écriture exacte avec √ ou utilise la calculatrice pour donner l’arrondi demandé. Termine par une phrase avec l’unité et vérifie que l’hypoténuse reste le côté le plus long.
Des exemples
Le triangle ABC est rectangle en A. On sait que AB = 8 cm et AC = 15 cm. Calcule la longueur BC.
Le côté BC est opposé à l’angle droit : c’est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore, BC au carré est égal à AB au carré plus AC au carré. Donc BC = √(8 au carré + 15 au carré) = 17 cm. Cette longueur est bien supérieure à chacune des longueurs connues.
Une échelle est appuyée contre un mur vertical, sur un sol horizontal. Son pied se trouve à 5 m du mur et son sommet atteint une hauteur de 12 m. Quelle est la longueur de l’échelle ?
Le mur et le sol forment un angle droit. L’échelle est donc l’hypoténuse du triangle rectangle. D’après le théorème de Pythagore, sa longueur est √(5 au carré + 12 au carré), soit 13 m.
À retenir
- Le théorème de Pythagore s’utilise dans un triangle rectangle.
- L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et le côté le plus long.
- Pour chercher l’hypoténuse : additionner les carrés, puis prendre la racine carrée.
- Pour chercher un côté de l’angle droit : soustraire les carrés, puis prendre la racine carrée.
- Utiliser la même unité pour toutes les longueurs.
- Donner l’unité du résultat et n’arrondir qu’à la fin du calcul.
Les mots de la leçon
- Triangle rectangle
- Triangle qui possède un angle droit.
- Hypoténuse
- Côté opposé à l’angle droit dans un triangle rectangle. C’est son côté le plus long.
- Carré d’un nombre
- Produit de ce nombre par lui-même. Par exemple, 7² = 7 × 7 = 49.
- Racine carrée
- La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif dont le carré est égal à ce nombre. Elle se note avec le symbole √.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans un triangle rectangle, le carré construit sur l’hypoténuse a la même aire que les carrés construits sur les deux autres côtés réunis. Pour trouver l’hypoténuse, tu additionnes les carrés des longueurs connues, puis tu prends la racine carrée. Pour trouver un côté de l’angle droit, tu soustrais son carré connu au carré de l’hypoténuse, puis tu prends la racine carrée.
Un triangle ABC est rectangle en B. L’hypoténuse AC mesure L centimètres et le côté AB mesure c centimètres, avec L supérieur à c. Exprime la longueur BC à l’aide de L et de c.
- Repère l’angle droit en B : AC est donc l’hypoténuse.L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est aussi le plus long côté du triangle.
- Écris AC² = AB² + BC², soit L² = c² + BC².Le triangle est rectangle : tu peux appliquer le théorème de Pythagore.
- Isole le carré de la longueur cherchée : BC² = L² − c².Tu soustrais c² de chaque côté de l’égalité.
- Conclus : BC = √(L² − c²) cm.Une longueur est positive. Tu prends donc la racine carrée positive de L² − c².
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Déterminer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle connaissant les longueurs des deux autres côtés.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers