Mathématiques · 4e · environ 10 min
Prouver qu’un triangle n’est pas rectangle
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un carré sur chaque côté du triangle. Repère celui qui est construit sur le plus grand côté. Compare son aire à la somme des aires des autres carrés : si elles sont différentes, le triangle n’est pas rectangle. Les carrés montrent pourquoi on compare des longueurs multipliées par elles-mêmes, et non les longueurs seules.
Un dessin aide à comprendre, mais son apparence ne prouve rien. Utilise les longueurs exactes données dans l’énoncé pour calculer les aires.
Imagine que le triangle soit rectangle. Dans ce cas, le théorème de Pythagore oblige le carré du plus grand côté à être égal à la somme des carrés des autres côtés. Si tes calculs montrent une inégalité, cette obligation n’est pas respectée : le triangle ne peut donc pas être rectangle.
Il faut choisir le plus grand côté et utiliser des calculs exacts. Une différence créée par un arrondi ne suffit pas à prouver que le triangle n’est pas rectangle.
Compare ces tentatives : additionner les petites longueurs ; additionner les longueurs puis mettre le total au carré ; mettre chaque petite longueur au carré puis additionner. Seule la dernière préparation convient. Ensuite, compare cette somme au carré du plus grand côté, sans mélanger les calculs.
Cette vérification évite une erreur de calcul, mais il reste indispensable d’écrire l’inégalité obtenue et la conclusion sur le triangle.
Les pièges
Placer un côté qui n’est pas le plus grand seul dans la comparaison.
Tu as choisi un côté avant de comparer les longueurs. Repère d’abord la longueur maximale, puis recommence la comparaison avec son carré.
Calculer le carré de la somme des petites longueurs.
Tu as additionné les longueurs trop tôt. Multiplie chaque longueur par elle-même, puis additionne les produits obtenus.
Conclure à partir de l’apparence du dessin ou de valeurs arrondies.
Ton observation donne une piste. Pour en faire une preuve, reprends les longueurs exactes et écris la comparaison des carrés.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Pour prouver qu’un triangle n’est pas rectangle, on compare les carrés de ses longueurs. Cette méthode permet de conclure à partir des mesures, même si le dessin semble montrer un angle droit.
Le cours
Le théorème de Pythagore affirme que, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et le plus long côté du triangle.
Pour prouver qu’un triangle n’est pas rectangle, on repère d’abord un côté de longueur maximale. On calcule séparément le carré de sa longueur et la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si ces deux résultats sont différents, alors le triangle n’est pas rectangle. En effet, s’il était rectangle, l’égalité de Pythagore serait forcément vérifiée. Ce raisonnement utilise la contraposée du théorème de Pythagore.
Ainsi, dans un triangle ABC dont le plus long côté est AB, si AB² ≠ AC² + BC², alors le triangle ABC n’est pas rectangle. Le carré du plus grand côté peut être inférieur ou supérieur à la somme des deux autres carrés : dans les deux cas, l’inégalité suffit.
Avant de calculer, toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité. Attention à ne pas confondre le carré d’une somme avec la somme des carrés : on calcule chaque carré avant de les additionner.
Des exemples
Un triangle ABC vérifie AB = AC = 17 cm et BC = 2 cm. Prouve qu’il n’est pas rectangle.
AB est un côté de longueur maximale. Le carré de sa longueur vaut 17 × 17 = 289. La somme des carrés des longueurs des autres côtés vaut 289 + 2 × 2. Cette somme est strictement supérieure à 289, puisqu’on ajoute une quantité positive. Ainsi, AB² ≠ AC² + BC². D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.
Un triangle DEF vérifie DE = 9 cm et DF = EF = (9 − 2) cm. Prouve qu’il n’est pas rectangle.
DE est le plus long côté. Le carré de sa longueur vaut 9 × 9 = 81. On calcule séparément la somme DF² + EF² : (9 − 2) × (9 − 2) + (9 − 2) × (9 − 2). Cette somme est supérieure à 81. Donc DE² ≠ DF² + EF². D’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle DEF n’est pas rectangle.
À retenir
- Exprimer toutes les longueurs dans la même unité.
- Repérer un côté de longueur maximale.
- Calculer son carré et, séparément, la somme des carrés des deux autres longueurs.
- Si les résultats sont différents, le triangle n’est pas rectangle.
- Justifier la conclusion avec la contraposée du théorème de Pythagore.
- Un dessin ne suffit pas à prouver qu’un triangle est ou n’est pas rectangle.
Les mots de la leçon
- Carré d’un nombre
- Produit de ce nombre par lui-même.
- Hypoténuse
- Dans un triangle rectangle, côté opposé à l’angle droit. C’est le plus long côté.
- Contraposée du théorème de Pythagore
- Propriété permettant d’affirmer qu’un triangle n’est pas rectangle lorsque le carré de sa plus grande longueur est différent de la somme des carrés des deux autres longueurs.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUn triangle a des côtés de 4 cm, 5 cm et 7 cm : on compare le carré de 7 à la somme des carrés de 4 et de 5. Comme 7 × 7 ≠ 4 × 4 + 5 × 5, ce triangle n’est pas rectangle. S’il était rectangle, le carré de son plus grand côté serait égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Le triangle ABC vérifie AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 7 cm. Prouve qu’il n’est pas rectangle.
- BC est le plus grand côté.Il faut comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
- On prépare séparément BC × BC et AB × AB + AC × AC, soit 7 × 7 et 4 × 4 + 5 × 5.On met chaque longueur au carré avant d’additionner les carrés des petits côtés.
- Le calcul donne 7 × 7 ≠ 4 × 4 + 5 × 5.Les deux expressions n’ont pas la même valeur.
- Le triangle ABC n’est donc pas rectangle.S’il était rectangle, le théorème de Pythagore imposerait l’égalité entre ces deux expressions.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres côtés et conclure, en cas d’inégalité, que le triangle n’est pas rectangle.
- Au programme
- 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers