Mathématiques · 4e · Équations
Résoudre une équation en justifiant chaque étape
Au programme de 4e : Résoudre une équation avec une balance
Environ 15 min
Comprendre
Résoudre une équation permet de trouver une valeur inconnue à partir d’une égalité. On s’en sert pour déterminer, par exemple, un prix, une longueur ou une quantité lorsqu’on connaît des relations entre les données.
La balance de l'équation
3x + 5 = 20
3x + 5 = 20 : la balance est en équilibre. Chaque sachet contient le même nombre caché de jetons, x.
Le cours
Une équation est une égalité qui contient une inconnue, souvent notée x. Le membre de gauche est l’expression située avant le signe = ; le membre de droite est celle située après. Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend cette égalité vraie. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions.
On représente l’égalité par une balance en équilibre : chaque plateau correspond à un membre. Pour conserver l’équilibre, on ajoute ou on retire la même quantité des deux côtés. De même, on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul. Ces transformations sont réversibles : elles conservent exactement les mêmes solutions. La balance aide à comprendre le principe ; les règles de calcul restent valables avec des nombres négatifs, même si on ne les représente pas par des masses ordinaires.
Pour résoudre une équation du premier degré, on commence, si nécessaire, par développer les parenthèses et réduire les expressions dans chaque membre. On rassemble ensuite les termes contenant x dans un membre en soustrayant le même terme aux deux membres. Puis on rassemble les nombres seuls dans l’autre membre, toujours en effectuant la même opération des deux côtés. À chaque étape, on écrit la nouvelle égalité et on précise l’opération effectuée.
On obtient ainsi une égalité de la forme A × x = B, où A et B sont des nombres. Si A est non nul, on divise les deux membres par A : la solution est x = B/A. Cela fonctionne aussi lorsque A est négatif. Attention : on ne divise jamais par zéro. Si les termes contenant x disparaissent, une égalité vraie signifie que tous les nombres sont solutions ; une égalité fausse signifie qu’il n’y a aucune solution.
Pour vérifier une solution, on remplace x par la valeur trouvée dans l’équation de départ, puis on calcule séparément chaque membre. Si les résultats sont égaux, la valeur convient. On termine par une phrase qui donne la solution. Dire seulement qu’un terme « change de côté et change de signe » ne justifie pas la transformation : il faut expliquer quelle même opération a été effectuée sur les deux membres.
Un exempleDes exemples
Résous l’équation x + 23 = 61 en justifiant la transformation.
On soustrait 23 aux deux membres : x + 23 − 23 = 61 − 23. On obtient x = 38. Soustraire la même quantité des deux côtés conserve les solutions, car on peut revenir à l’égalité précédente en ajoutant cette quantité aux deux membres. Vérification : 38 + 23 = 61. La solution est donc 38.
Résous l’équation 7x + 19 = 68 en expliquant comment conserver l’équilibre.
On soustrait 19 aux deux membres : 7x = 68 − 19. On divise ensuite les deux membres par 7, qui est non nul : x = (68 − 19) / 7 = 7. Ces opérations conservent les mêmes solutions puisqu’elles sont effectuées des deux côtés et sont réversibles. Vérification dans l’équation de départ : 7 × 7 + 19 = 68. La solution est donc 7.
Résous l’équation 4x + 29 = 9x + 64. Justifie chaque transformation, même si un nombre négatif apparaît.
On soustrait 9x aux deux membres : (4 − 9)x + 29 = 64. On soustrait ensuite 29 aux deux membres : (4 − 9)x = 64 − 29. Enfin, on divise les deux membres par (4 − 9), qui est non nul : x = (64 − 29) / (4 − 9) = -7. À chaque étape, la même opération réversible est effectuée des deux côtés : les solutions sont donc conservées. Pour vérifier, on calcule séparément 4 × (-7) + 29 et 9 × (-7) + 64 : on obtient le même nombre. La solution est donc -7.
Démonstration et exemple résolu
RegardeImagine une balance à deux plateaux en équilibre : chaque plateau représente un membre de l'équation. Pour garder l'équilibre, ce qu'on ajoute ou retire d'un côté doit aussi être ajouté ou retiré de l'autre. On peut également diviser les deux membres par un même nombre non nul : l'égalité reste vraie.
Résolvons 3x + 5 = 20 en gardant la balance en équilibre à chaque étape : 3x + 5 = 20 → 3x = 15 → x = 5.
- 3x = 15À partir de 3x + 5 = 20, soustraire 5 aux deux membres donne 3x = 15 : on retire la même quantité des deux côtés, donc l'égalité est préservée. L'opération peut être annulée en ajoutant 5 aux deux membres : les deux équations ont bien la même solution.
- x = 5À partir de 3x = 15, diviser les deux membres par 3 donne x = 5 : on partage chaque côté en trois parts égales. Comme 3 est non nul, on peut revenir en arrière en multipliant les deux membres par 3 : la solution est conservée.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Applique une opération à un seul membre de l'équation
Comment l'éviter : Repère l'opération faite d'un côté, puis effectue-la aussi de l'autre pour retrouver l'équilibre.
Erreur : Oublie de changer le signe en faisant passer un terme de l'autre côté
Comment l'éviter : Reprends la ligne précédente et écris l'addition ou la soustraction effectuée aux deux membres avant de simplifier.
Erreur : Divise seulement une partie d'un membre (pas tous les termes) par le coefficient
Comment l'éviter : Place chaque membre entre parenthèses avant de le diviser, puis vérifie que tous ses termes sont concernés.
Voir autrement
La leçon ne passe pas ? Choisis une autre façon de comprendre. Une seule s'ouvre à la fois.
3x + 5 = 20
- x× 3
- ?+ 5
- 20
On lit le trajet de x de gauche à droite ; on le remonte de droite à gauche.
3x + 5 = 20. Le trajet de x est : × 3, puis + 5. Pour retrouver x, on part de 20 et on remonte.
Regroupe les termes contenant x d'un côté et les nombres de l'autre en ajoutant ou en soustrayant une même quantité aux deux membres. Réduis les expressions, puis divise les deux membres par le nombre qui multiplie x. À chaque étape, note l'opération effectuée et vérifie qu'elle permet de revenir à l'équation précédente : les équations sont alors équivalentes, c'est-à-dire qu'elles ont la même solution.
Pour obtenir x par division, le nombre qui multiplie x doit être non nul.
Les deux membres jouent le rôle des deux plateaux : ajouter ou soustraire une même quantité des deux côtés conserve l'égalité. Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul conserve aussi la même solution. Pour justifier une étape, nomme l'opération et précise qu'elle est effectuée aux deux membres.
Une opération qui modifie un seul membre sans modifier l'autre casse l'égalité.
- 2x + 3 = 11
2 sachets identiques et 3 jetons à gauche, 11 jetons à droite : la balance est en équilibre. Chaque sachet contient le même nombre x de jetons.
À partir de 2x + 3 = 11, écrire 2x = 11 est faux : on a soustrait 3 au membre de gauche seulement, ce qui change la solution. Écrire 2x = 8 est juste, car on a soustrait 3 aux deux membres. On peut revenir à l'équation de départ en ajoutant 3 aux deux membres : cette transformation conserve donc la même solution.
Une expression plus courte n'est pas forcément une étape correcte : il faut vérifier que la transformation conserve la même solution.
Leçon interactive
Fais la leçon en manipulant
On essaie d'abord, la règle vient ensuite. 10 cartes, environ 8 minutes.
Il te manque peut-être une notion d'avant :Ce nombre est-il solution de l’équation ?Revoir les bases pas à pas
S'entraîner
Je m'entraîne
- Une série en paliersDécouverte, confirmé, expert : corrigée tout de suite
- Calcul mentalUn rituel de 3 à 5 minutes, sans chrono imposé
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
Retenir
À retenir
- Une solution rend vraie l’égalité de départ.
- Ajouter ou soustraire la même expression aux deux membres conserve les solutions.
- Multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul conserve les solutions.
- Pour isoler x, on rassemble les termes contenant x, puis les nombres seuls.
- Chaque transformation doit être justifiée par l’opération effectuée sur les deux membres.
- On vérifie la valeur trouvée dans l’équation de départ.
Les mots de la leçon
- Équation
- Égalité contenant une ou plusieurs inconnues, dont on cherche les valeurs qui rendent l’égalité vraie.
- Inconnue
- Nombre dont on cherche la valeur, généralement représenté par une lettre comme x.
- Membre
- Chacune des deux expressions séparées par le signe = dans une égalité.
- Solution
- Valeur qui, lorsqu’elle remplace l’inconnue, rend l’égalité vraie.
- Équations équivalentes
- Équations qui ont exactement les mêmes solutions.
- Équation du premier degré à une inconnue
- Équation qui, après développement et réduction, peut s’écrire A × x = B, avec A non nul.