Mathématiques · 4e · environ 15 min

Résoudre une équation du type ax + b = c

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S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Pour représenter 5x + 4 = 19, prépare cinq sachets identiques contenant chacun la même quantité inconnue de jetons. Place quatre jetons à côté et représente dix-neuf jetons de l’autre côté. Retire quatre jetons de chaque côté, puis partage les jetons restants en cinq groupes égaux. Un groupe représente le contenu d’un sachet. Avec la quantité trouvée, reconstruis le côté des sachets pour vérifier que les deux côtés ont la même valeur.

Cette manipulation convient directement aux quantités positives et entières. Des jetons ordinaires ne représentent pas facilement des nombres négatifs ou des parts de jeton ; utilise alors les calculs écrits.

Les pièges

Modifier un seul côté de l’équation.
Reprends la ligne précédente et écris la même opération des deux côtés avant de simplifier.
Se tromper de signe en annulant le terme constant.
Écris explicitement la soustraction avec des parenthèses. Simplifie les signes seulement après.
S’arrêter à la valeur de ax ou arrondir la valeur de x.
Vérifie que x est seul. Garde une fraction exacte si nécessaire, puis remplace x dans l’équation de départ.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Résoudre une équation permet de trouver une quantité inconnue à partir d’une égalité, par exemple pour déterminer un prix ou une longueur. On utilise les opérations pour isoler l’inconnue, puis on vérifie la valeur trouvée.

Le cours

Une équation est une égalité qui contient une inconnue, souvent notée x. Résoudre une équation, c’est chercher la valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Dans une équation du type ax + b = c, les nombres a, b et c sont connus, et a est différent de zéro. L’écriture ax signifie a × x.
Pour transformer une équation sans changer ses solutions, on effectue la même opération sur ses deux membres : on peut ajouter ou soustraire un même nombre, ou multiplier ou diviser par un même nombre non nul. On conserve ainsi une égalité équivalente à celle de départ.
Pour résoudre ax + b = c, on commence par soustraire b aux deux membres. On obtient ax = c − b. Si b est négatif, soustraire b revient à ajouter son opposé. Il vaut mieux écrire l’opération effectuée plutôt que dire seulement qu’un terme « change de côté ».
On divise ensuite les deux membres par a, ce qui est possible puisque a est non nul. On obtient x = (c − b)/a. La solution peut être positive, négative ou nulle, entière ou non entière. Si le quotient n’est pas un décimal exact, on conserve une fraction, simplifiée si possible, plutôt qu’une valeur arrondie.
Pour vérifier la solution, on remplace x par la valeur trouvée dans l’équation de départ et on calcule le membre de gauche. Il doit être égal au membre de droite. On conclut alors en indiquant la solution. Si l’égalité n’est pas vérifiée, on reprend les opérations, notamment les calculs de signes.

Des exemples

Résous l’équation 7x + 9 = 100, puis vérifie la solution.
On soustrait 9 aux deux membres : 7x = 100 − 9. On divise ensuite les deux membres par 7 : x = (100 − 9) ÷ 7 = 13. Vérification dans l’équation de départ : 7 × 13 + 9 = 100. L’égalité est vraie : la solution est 13.
Résous l’équation 8x + (-11) = 45, puis vérifie la solution.
Le nombre ajouté à 8x est -11, qui est négatif. Pour isoler 8x, on soustrait donc (-11) aux deux membres, ce qui revient à ajouter son opposé : 8x = 45 − (-11). On divise ensuite par 8 : x = (45 − (-11)) ÷ 8 = 7. Vérification : 8 × 7 + (-11) = 45. L’égalité est vraie : la solution est 7.
Résous l’équation -6x + 17 = 47, puis vérifie la solution.
On soustrait 17 aux deux membres : -6x = 47 − 17. Le coefficient -6 est négatif, mais on peut tout de même diviser les deux membres par ce nombre non nul. On obtient x = (47 − 17) ÷ (-6) = -5. Vérification : (-6) × (-5) + 17 = 47. L’égalité est vraie : la solution est -5.

À retenir

Effectuer la même opération sur les deux membres de l’équation.
Pour résoudre ax + b = c, soustraire d’abord b, puis diviser par a.
Le coefficient a doit être différent de zéro.
Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.
Conserver une valeur exacte, sous forme de fraction si nécessaire.
Vérifier la solution en remplaçant x dans l’équation de départ.

Les mots de la leçon

Équation: Égalité contenant une inconnue dont on cherche les valeurs qui rendent cette égalité vraie.
Inconnue: Nombre que l’on cherche, généralement représenté par une lettre comme x.
Membre: Expression située d’un côté du signe égal : on distingue le membre de gauche et le membre de droite.
Coefficient: Nombre qui multiplie l’inconnue. Dans ax, le coefficient de x est a.
Solution: Valeur de l’inconnue qui rend vraie l’égalité de départ.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeDans l’équation 5x + 4 = 19, tu cherches le nombre qui, multiplié par 5 puis augmenté de 4, donne 19. Pour le retrouver, tu défais ces opérations dans l’ordre inverse, en gardant les deux côtés égaux. Tu vérifies ensuite en remplaçant x par la valeur trouvée.

Résous ax + b = c, où a est non nul, puis vérifie ta solution. Les lettres a, b et c représentent des nombres connus.

Soustrais b des deux côtés : ax + b − b = c − b, donc ax = c − b.Tu enlèves le terme ajouté à ax. L’égalité reste vraie parce que tu soustrais le même nombre des deux côtés.
Divise les deux côtés par a : x = (c − b) / a.Le nombre a multiplie x. Comme a est non nul, tu peux diviser par a pour laisser x seul.
Remplace x dans l’expression de départ : a × ((c − b) / a) + b = c − b + b = c.Tu retrouves bien le membre de droite : la valeur trouvée est donc une solution.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Trouver la valeur de l’inconnue dans une équation du type ax + b = c, avec a non nul, puis vérifier la solution par remplacement.
Au programme: 4e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Combien de temps: Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers