Reconnaître une configuration permettant d’appliquer Thalès

Reconnaître une configuration de Thalès permet de savoir si l’on peut utiliser ce théorème pour calculer une longueur. On cherche des triangles emboîtés ou disposés en papillon, en vérifiant les alignements et le parallélisme indiqués.

Le cours

1. Pour reconnaître une configuration de Thalès, repère deux triangles ayant un sommet commun. Par exemple, dans les triangles OAB et OCD, les points O, A, C doivent être alignés, les points O, B, D doivent être alignés et les droites (AB) et (CD) doivent être parallèles. Les droites (OA) et (OB) doivent être distinctes : les triangles ne doivent pas être aplatis.

2. Dans une configuration emboîtée, un triangle est à l’intérieur de l’autre. Par exemple, si A appartient au segment [OC] et B au segment [OD], le triangle OAB est emboîté dans le triangle OCD. Il reste à vérifier que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

3. Dans une configuration en papillon, les triangles sont de part et d’autre du sommet commun. Avec les mêmes noms, O est entre A et C, et aussi entre B et D. Si les droites (AB) et (CD) sont parallèles, le théorème de Thalès s’applique également.

4. Quand ces conditions sont réunies, le théorème de Thalès donne l’égalité des rapports de longueurs : OA/OC = OB/OD = AB/CD. Les côtés associés sont ceux portés par une même droite passant par O, puis les côtés parallèles. Pour reconnaître la configuration, il n’est pas nécessaire de connaître toutes les longueurs.

5. Appuie-toi sur l’énoncé et sur les codages de la figure, pas seulement sur son apparence. Des droites qui semblent parallèles ne le sont pas forcément. Si un alignement ou le parallélisme n’est ni donné ni déjà démontré, tu ne peux pas appliquer directement le théorème de Thalès.

Des exemples

• Dans le triangle OCD, A appartient au segment [OC] et B appartient au segment [OD]. Les points O, A, C sont distincts, de même que les points O, B, D. On sait que (AB) est parallèle à (CD), que OA = 7 cm et que AC = 11 cm. Peut-on appliquer le théorème de Thalès aux triangles OAB et OCD ? Calcule aussi OC.

  Oui. Les triangles OAB et OCD ont le sommet O en commun. Les points O, A, C sont alignés, les points O, B, D sont alignés et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Il s’agit d’une configuration emboîtée. Comme A est entre O et C, OC = OA + AC = 7 + 11 = 18 cm. Ce calcul complète les longueurs connues, mais ce sont les alignements et le parallélisme qui permettent d’appliquer Thalès.

• Les droites distinctes (AC) et (BD) se coupent en O. Le point O est entre A et C, et entre B et D. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On donne OA = 9 cm et OC = 14 cm. Peut-on appliquer le théorème de Thalès aux triangles OAB et OCD ? Calcule aussi AC.

  Oui. Les triangles OAB et OCD ont le sommet O en commun et sont situés de part et d’autre de ce sommet. Les alignements O, A, C et O, B, D sont donnés, ainsi que le parallélisme de (AB) et (CD) : c’est une configuration en papillon. Comme O est entre A et C, AC = AO + OC = 9 + 14 = 23 cm.

• Dans le triangle ABC, M appartient au segment [AB] et N appartient au segment [AC], sans être des sommets du triangle. On donne AB = 23 cm et AM = 8 cm. Les droites (MN) et (BC) semblent parallèles sur le dessin, mais aucune indication ne le confirme. Peut-on appliquer directement le théorème de Thalès aux triangles AMN et ABC ? Calcule aussi MB.

  Non, pas avec les seules informations données. Les triangles AMN et ABC ont le sommet A en commun et les alignements nécessaires sont connus. En revanche, le parallélisme de (MN) et (BC) n’est ni donné ni démontré : l’apparence du dessin ne suffit pas. On peut tout de même calculer MB sans Thalès, car M est entre A et B : MB = AB − AM = 23 − 8 = 15 cm.