Mathématiques · 3e · environ 15 min

Calculer une longueur avec le théorème de Thalès

Il aide de savoir :Prouver qu’un triangle est rectangle avec la réciproque de Pythagore

Je m'entraîne

S'entraîner : une série dédiée, en paliers Rituel : Calcul mental

Explique-moi autrement

Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.

Dessine les triangles OMN et OAB avec O, M, A alignés et O, N, B alignés. Marque les bases parallèles. Utilise une couleur pour OM et OA, une autre pour ON et OB, puis une dernière pour MN et AB. Écris ensuite les rapports en gardant partout le même sens : OM/OA = ON/OB = MN/AB. Pour un papillon, les points M et A sont de part et d'autre de O, comme N et B : les associations restent les mêmes.

Le dessin aide à repérer les côtés, mais son apparence ne prouve ni l'alignement ni le parallélisme : ces informations doivent être données ou justifiées.

Les pièges

Écrire un rapport petit/grand puis un rapport grand/petit dans la même égalité.
Choisis un triangle pour tous les numérateurs. Réécris chaque rapport en gardant ce même triangle au-dessus.
Utiliser une longueur de morceau à la place d'une longueur partant du sommet commun.
Suis les lettres avec ton doigt : pour OA, pars de O et va jusqu'à A. Si nécessaire, calcule d'abord la longueur entière.
Appliquer Thalès parce que les droites semblent parallèles sur le dessin.
Cherche l'information de parallélisme dans l'énoncé ou une justification déjà obtenue avant d'écrire les rapports.

Je me teste

2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.

La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer

La leçon

Ce qu'il faut savoir

Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur manquante à partir de longueurs connues et de droites parallèles. On l’utilise notamment dans des configurations de triangles emboîtés ou en papillon.

Le cours

Considérons deux triangles AMN et ABC. Pour appliquer le théorème de Thalès, les points A, M et B doivent être alignés, les points A, N et C doivent être alignés, et les droites (MN) et (BC) doivent être parallèles. Les deux droites qui portent les côtés issus de A doivent être distinctes.
Dans une configuration de triangles emboîtés, M et B sont sur une même demi-droite d’origine A, et N et C sont aussi sur une même demi-droite d’origine A. Dans une configuration en papillon, A est entre M et B, et aussi entre N et C. Dans les deux configurations, le théorème donne la même égalité : AM / AB = AN / AC = MN / BC.
L’ordre des longueurs dans les rapports est essentiel : AM correspond à AB, AN correspond à AC et MN correspond à BC. Dans l’égalité précédente, les longueurs du triangle AMN sont toutes au numérateur et celles du triangle ABC sont toutes au dénominateur. On peut inverser tous les rapports, mais pas un seul.
Pour calculer une longueur, commence par vérifier et citer les alignements et le parallélisme. Écris ensuite l’égalité de Thalès, puis choisis deux rapports contenant la longueur cherchée et uniquement des longueurs connues ailleurs. Exprime les longueurs dans la même unité, remplace-les par leurs valeurs et utilise les produits en croix : si AM / AB = MN / BC, alors AM × BC = AB × MN. Isole la longueur cherchée, calcule et indique l’unité.
Attention : les rapports utilisent des longueurs mesurées depuis le sommet commun A, sauf pour les côtés parallèles MN et BC. Si M appartient au segment [AB], alors AB = AM + MB. Dans une configuration en papillon où A est entre M et B, alors MB = MA + AB. Il peut donc être nécessaire de calculer une longueur par addition ou soustraction avant d’appliquer Thalès. Enfin, vérifie que ton résultat respecte la taille relative des triangles : le dessin seul ne permet pas d’affirmer que des droites sont parallèles.

Des exemples

Les triangles AMN et ABC sont emboîtés : M appartient à [AB], N appartient à [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On sait que AM / AB = 7/11 et que BC = 22 cm. Calcule MN.
Les alignements et le parallélisme permettent d’appliquer le théorème de Thalès : AM / AB = MN / BC. Ainsi, MN / BC = 7/11. On multiplie ce rapport par BC : MN = 7/11 × 22 = 14 cm. Le rapport étant inférieur à l’unité, MN est bien plus petite que BC.
Dans une configuration en papillon, les points M, A et B sont alignés avec A entre M et B. Les points N, A et C sont alignés avec A entre N et C. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AM / AB = 9/4 et BC = 12 cm. Calcule MN.
Le théorème de Thalès s’applique aussi dans la configuration en papillon : AM / AB = AN / AC = MN / BC. On utilise MN / BC = 9/4, d’où MN = 9/4 × 12 = 27 cm. Le rapport étant supérieur à l’unité, MN est bien plus grande que BC.
Les triangles AMN et ABC sont emboîtés : M appartient à [AB], N appartient à [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On connaît AB / AM = 13/8 et MN = 24 cm. Calcule BC.
D’après le théorème de Thalès, AM / AB = MN / BC. On inverse les deux rapports pour placer les longueurs du triangle ABC au numérateur : AB / AM = BC / MN. Ainsi, BC = 13/8 × 24 = 39 cm. Le résultat est cohérent : BC est plus grande que MN.

À retenir

Vérifier les alignements et le parallélisme avant d’appliquer Thalès.
Associer les côtés correspondants : AM avec AB, AN avec AC, MN avec BC.
Garder le même ordre dans tous les rapports.
Choisir deux rapports avec une seule longueur inconnue, puis utiliser les produits en croix.
Employer la même unité et vérifier la cohérence du résultat.
La même égalité s’applique aux triangles emboîtés et à la configuration en papillon.

Les mots de la leçon

Rapport de longueurs: Quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité. Il permet de comparer leurs tailles.
Côtés correspondants: Côtés qui se répondent dans les deux triangles. Dans la configuration étudiée, AM et AB sont correspondants, comme AN et AC, puis MN et BC.
Produits en croix: Propriété permettant de transformer une égalité de quotients en une égalité de produits : si a / b = c / d, avec b et d non nuls, alors a × d = b × c.

Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape

RegardeQuand deux triangles sont emboîtés et que leurs bases sont parallèles, leurs côtés correspondants sont proportionnels : si OA = k × OM, alors AB = k × MN. Dans une configuration en papillon, on retrouve cette proportionnalité en associant les côtés portés par les mêmes droites.

Dans le triangle OAB, M appartient au segment [OA] et N au segment [OB]. Les droites (MN) et (AB) sont parallèles. On connaît OM, OA et MN. Comment déterminer AB ?

Repère les triangles OMN et OAB, puis associe OM à OA, ON à OB et MN à AB.Les côtés correspondants doivent garder le même ordre dans les rapports.
Écris OM/OA = MN/AB.Les points sont alignés dans le bon ordre et les bases sont parallèles : le théorème de Thalès s'applique.
Écris OM × AB = OA × MN.Dans une égalité de rapports, les produits en croix sont égaux.
On obtient AB = (OA × MN)/OM, dans l'unité des longueurs données.On divise par OM pour isoler la longueur cherchée. Comme OAB est le grand triangle, AB doit être plus grand que MN.

Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider

Ce que votre enfant apprend: Déterminer une longueur manquante dans une configuration de triangles emboîtés ou en papillon dont deux côtés sont portés par des droites parallèles.
Au programme: 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
Avant de commencer: Prouver qu’un triangle est rectangle avec la réciproque de Pythagore
Combien de temps: Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.

Comment l'accompagner

Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.

Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers