Écrire les rapports de longueurs dans une configuration de Thalès

Dans une configuration de Thalès, on peut écrire une égalité entre des rapports de longueurs. Cette leçon t’apprend à reconnaître les côtés correspondants et à les placer dans le même ordre, sans calculer de longueur.

Le cours

1. On considère deux triangles ABC et AMN. Les points A, M et B sont alignés, les points A, N et C sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Lorsque ces conditions sont données comme vérifiées, on peut appliquer le théorème de Thalès.

2. Dans la configuration des triangles emboîtés, M appartient au segment [AB] et N appartient au segment [AC] : le triangle AMN est à l’intérieur du triangle ABC. Dans la configuration en papillon, A est entre M et B, ainsi qu’entre N et C : les triangles AMN et ABC sont de part et d’autre de A. La même égalité de rapports s’applique dans ces deux configurations.

3. Pour associer les côtés correspondants, repère d’abord les sommets qui se correspondent : A avec A, M avec B et N avec C. Les côtés correspondants sont donc AM et AB, AN et AC, puis MN et BC. En particulier, les côtés portés par les droites parallèles se correspondent.

4. Le théorème de Thalès permet d’écrire : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Dans chaque rapport, une longueur du triangle AMN est au numérateur et la longueur correspondante du triangle ABC est au dénominateur. Les lettres AM, AB, AN, AC, MN et BC désignent ici des longueurs, donc des nombres positifs.

5. On peut aussi inverser tous les rapports et écrire : AB/AM = AC/AN = BC/MN. Il faut conserver le même ordre dans toute l’égalité : on ne doit jamais inverser un seul rapport. Pour écrire ces égalités, aucune mesure ni aucun calcul de longueur n’est nécessaire.

Des exemples

• Dans le triangle ABC, M appartient à [AB] et N appartient à [AC]. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AM = 7 cm, AB = 21 cm, AN = 11 cm et AC = 33 cm. Écris les rapports de Thalès en plaçant les longueurs du triangle AMN au numérateur, sans calculer de longueur.

  Les triangles sont emboîtés. Les côtés correspondants sont AM et AB, AN et AC, puis MN et BC. On écrit donc AM/AB = AN/AC = MN/BC. Avec les longueurs données, cela s’écrit aussi 7/21 = 11/33 = MN/BC. Toutes les longueurs du triangle AMN sont bien au numérateur.

• Les points M, A et B sont alignés dans cet ordre, et les points N, A et C sont alignés dans cet ordre. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AM = 8 cm, AB = 20 cm, AN = 14 cm et AC = 35 cm. Écris les rapports de Thalès en plaçant les longueurs du triangle ABC au numérateur, sans calculer de longueur.

  Il s’agit d’une configuration en papillon : A se trouve entre M et B, ainsi qu’entre N et C. Les côtés correspondants restent AM et AB, AN et AC, puis MN et BC. Pour placer les longueurs du triangle ABC au numérateur, on écrit AB/AM = AC/AN = BC/MN, soit 20/8 = 35/14 = BC/MN. Le passage à la configuration en papillon ne change pas les correspondances.