Mathématiques · 3e · Géométrie
Inégalité triangulaire : peut-on tracer ce triangle ?
Au programme de 3e : Vérifier l'existence d'un triangle avec l'inégalité triangulaire
Environ 10 min
Comprendre
L’inégalité triangulaire permet de savoir si trois longueurs peuvent être les côtés d’un triangle, avant de tenter une construction. Elle sert aussi à justifier pourquoi une construction est possible ou impossible.
Le cours
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Cette propriété s’appelle l’inégalité triangulaire.
Pour décider si trois longueurs strictement positives permettent de construire un triangle non aplati, il suffit de comparer la plus grande longueur à la somme des deux autres. Toutes les longueurs doivent d’abord être exprimées dans la même unité.
Si la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres, le triangle est constructible. Une seule comparaison suffit : les inégalités concernant les côtés les plus courts sont alors forcément vérifiées.
Si la plus grande longueur est strictement supérieure à la somme des deux autres, aucun triangle n’est constructible : les deux côtés les plus courts ne peuvent pas se rejoindre pour fermer le triangle.
Si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, les sommets sont alignés. On parle de triangle aplati : aucun triangle non aplati n’est constructible. Pour justifier une réponse, on indique la plus grande longueur, la somme des deux autres, puis la comparaison et la conclusion.
Un exempleDes exemples
La plus grande des longueurs proposées mesure 23 cm. La somme des deux autres longueurs vaut 31 cm. Peut-on construire un triangle non aplati ?
On compare la somme des deux autres longueurs à la plus grande longueur : 31 > 23. La plus grande longueur est donc strictement inférieure à la somme des deux autres. D’après l’inégalité triangulaire, le triangle est constructible.
La plus grande des longueurs proposées mesure 34 cm. La somme des deux autres longueurs vaut 27 cm. Peut-on construire un triangle non aplati ?
On compare la somme des deux autres longueurs à la plus grande longueur : 27 < 34. La plus grande longueur est strictement supérieure à la somme des deux autres. L’inégalité triangulaire n’est pas vérifiée : le triangle est impossible à construire.
La plus grande des longueurs proposées mesure 29 cm. La somme des deux autres longueurs vaut 29 cm. Peut-on construire un triangle non aplati ?
La comparaison donne 29 = 29. La plus grande longueur est exactement égale à la somme des deux autres. Les sommets seraient alignés : c’est le cas d’un triangle aplati, et non d’un triangle non aplati.
Démonstration et exemple résolu
RegardeAvec des longueurs de 5 cm, 8 cm et 10 cm, un triangle est possible, car 5 + 8 > 10 : les deux petits côtés peuvent se rejoindre sans rester alignés. Avec des longueurs de 4 cm, 6 cm et 10 cm, ils restent alignés, car 4 + 6 = 10 : on ne peut pas construire un triangle non aplati. Pour décider, compare toujours la somme des deux plus petites longueurs à la plus grande : cette somme doit être strictement supérieure.
Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 7 cm, 9 cm et 15 cm ? Justifie ta réponse.
- Repère la plus grande longueur : 15 cm.C'est cette longueur qu'il faut comparer à la somme des deux autres.
- Compare : 7 + 9 > 15.Les deux côtés les plus courts, réunis, dépassent le plus grand.
- Conclus : le triangle est constructible, car 15 < 7 + 9.L'inégalité triangulaire est strictement vérifiée. Une égalité ne suffirait pas.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Accepter le triangle lorsque la somme des deux petites longueurs égale la plus grande.
Comment l'éviter : Tu as bien repéré que les longueurs se rejoignent. Vérifie maintenant si elles forment une pointe : pour cela, la somme doit dépasser strictement la plus grande longueur.
Erreur : Comparer la somme de deux longueurs choisies au hasard à la troisième.
Comment l'éviter : Commence par repérer la plus grande longueur. Garde-la seule d'un côté de la comparaison et additionne les deux autres.
Erreur : Comparer directement des mesures exprimées dans des unités différentes.
Comment l'éviter : Convertis toutes les longueurs dans la même unité, puis repère à nouveau la plus grande avant de comparer.
Voir autrement
La leçon ne passe pas ? Choisis une autre façon de comprendre. Une seule s'ouvre à la fois.
Trace un segment AB correspondant à la plus grande longueur. Imagine un cercle de centre A ayant pour rayon une des autres longueurs, puis un cercle de centre B ayant pour rayon la dernière longueur. Lorsque la somme des deux rayons dépasse AB, les cercles se croisent en dehors de la droite AB : un point de rencontre peut être le troisième sommet. Si cette somme égale AB, le seul point de rencontre est sur le segment : la figure est aplatie. Si elle est inférieure à AB, les cercles restent séparés.
Les longueurs doivent être strictement positives et AB doit représenter la plus grande. Un dessin approximatif aide à comprendre, mais la justification doit s'appuyer sur la comparaison des longueurs.
Prépare trois bandes rigides de longueurs différentes. Pose la plus longue à plat, puis place une extrémité de chaque petite bande à une extrémité de la grande. Fais pivoter les petites bandes pour essayer de réunir leurs extrémités libres. Si elles peuvent se rejoindre en formant une pointe hors de la grande bande, tu obtiens un triangle. Si elles se rejoignent seulement à plat, l'égalité ne suffit pas. Si elles ne se rejoignent pas, leur somme est trop petite.
Les bandes ne doivent ni se plier ni s'étirer. L'épaisseur et les petits écarts de découpe peuvent tromper près du cas d'égalité : vérifie ensuite par le calcul.
Range mentalement les longueurs : petite, moyenne, grande. La somme petite + moyenne doit dépasser grande. Il est inutile de vérifier séparément les autres inégalités : grande + petite dépasse forcément moyenne, et grande + moyenne dépasse forcément petite, puisque les longueurs sont positives. Pour rédiger, écris la comparaison utile, puis conclus : triangle constructible si la somme dépasse la plus grande longueur ; triangle impossible si elle lui est inférieure ou égale.
Ce raccourci concerne trois longueurs strictement positives exprimées dans la même unité. En cas d'égalité, on obtient seulement une figure aplatie, pas un triangle non aplati.
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À retenir
- Exprimer toutes les longueurs dans la même unité.
- Repérer la plus grande longueur et calculer la somme des deux autres.
- Plus grande longueur < somme des deux autres : triangle constructible.
- Plus grande longueur > somme des deux autres : construction impossible.
- Plus grande longueur = somme des deux autres : sommets alignés, triangle aplati.
- Justifier avec la comparaison, puis une conclusion explicite.
Les mots de la leçon
- Inégalité triangulaire
- Propriété selon laquelle, dans un triangle non aplati, chaque côté a une longueur strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
- Triangle aplati
- Cas où les sommets sont alignés : la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres.