Mathématiques · 3e · Géométrie
Démontrer avec les propriétés du parallélogramme
Au programme de 3e : Démontrer une propriété du parallélogramme
Environ 15 min
Comprendre
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on s’appuie sur des informations précises concernant ses côtés ou ses diagonales. Une fois sa nature établie, on peut en déduire des parallélismes, des égalités de longueurs ou des égalités d’angles.
La figure
Le cours
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Pour un quadrilatère ABCD, dont les sommets sont nommés dans l’ordre du contour, cela signifie que (AB) est parallèle à (CD) et que (AD) est parallèle à (BC). Dans cette leçon, les quadrilatères sont non croisés et non aplatis.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont la même longueur, ses diagonales se coupent en leur milieu et ses angles opposés ont la même mesure. Ainsi, si ABCD est un parallélogramme et si ses diagonales se coupent en O, alors AB = CD, AD = BC, OA = OC et OB = OD.
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on peut utiliser la propriété caractéristique des diagonales : si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Pour ABCD, il faut donc établir que les segments [AC] et [BD] ont un même milieu O, c’est-à-dire que O appartient à ces segments, que OA = OC et que OB = OD.
D’autres propriétés permettent aussi de reconnaître un parallélogramme : un quadrilatère est un parallélogramme si ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux, ou si deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur. On peut également revenir à la définition en démontrant les deux parallélismes entre côtés opposés.
Une démonstration comporte les informations connues, la définition ou la propriété utilisée, puis la conclusion. Il faut choisir le bon sens du raisonnement : pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on utilise un critère de reconnaissance ; pour déduire une propriété de ses côtés ou de ses diagonales, sa nature de parallélogramme doit déjà être établie. L’apparence du dessin ne constitue pas une preuve.
Un exempleDes exemples
Dans le quadrilatère ABCD, les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. On sait que AO = 6,7 cm, OC = 6,7 cm et OB = OD. Démontre que ABCD est un parallélogramme, puis calcule AC.
Les longueurs données montrent que AO = OC. Comme O appartient à [AC], O est le milieu de [AC]. De même, O appartient à [BD] et OB = OD : O est donc le milieu de [BD]. Les diagonales ont le même milieu ; par conséquent, ABCD est un parallélogramme. Enfin, O étant sur [AC], AC = AO + OC = 6,7 + 6,7 = 67/5 cm.
ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en O et OB = 8,6 cm. Calcule BD en justifiant la propriété utilisée.
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. O est donc le milieu de [BD], ce qui donne OB = OD. La longueur BD est ainsi égale à 2 fois OB : BD = 2 × 8,6 = 86/5 cm.
Dans le quadrilatère ABCD, (AB) est parallèle à (CD) et (AD) est parallèle à (BC). Le point E appartient au segment [AB], avec AE = 4,8 cm et EB = 7,9 cm. Démontre que ABCD est un parallélogramme, puis calcule CD.
Les côtés opposés de ABCD sont parallèles deux à deux : d’après la définition, ABCD est un parallélogramme. Ses côtés opposés ont donc la même longueur, d’où CD = AB. Comme E appartient à [AB], AB = AE + EB = 4,8 + 7,9 = 127/10 cm. Ainsi, CD = 127/10 cm.
Démonstration et exemple résolu
RegardeDans un quadrilatère ABCD, les côtés opposés sont [AB] et [CD], puis [AD] et [BC]. Si ces côtés sont parallèles deux à deux, ABCD est un parallélogramme : c'est la définition. Tu peux aussi le démontrer en prouvant que ses diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu ; inversement, les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
Les diagonales [AC] et [BD] d'un quadrilatère ABCD se coupent en O. On sait que OA = OC et OB = OD. Démontre que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
- O est le milieu de [AC].O appartient à [AC] et OA = OC : ce sont les conditions pour être le milieu d'un segment.
- O est aussi le milieu de [BD].O appartient à [BD] et OB = OD.
- ABCD est un parallélogramme.Un quadrilatère dont les diagonales ont le même milieu est un parallélogramme.
- Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.D'après la définition du parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Affirmer qu'un quadrilatère est un parallélogramme parce que ses diagonales se coupent.
Comment l'éviter : Tu as repéré leur point de rencontre. Vérifie maintenant qu'il partage chacune des diagonales en segments de même longueur.
Erreur : Utiliser seulement OA = OC pour conclure.
Comment l'éviter : Tu as établi une partie des informations nécessaires. Cherche maintenant à justifier OB = OD.
Erreur : Utiliser une propriété du parallélogramme avant d'avoir prouvé que le quadrilatère en est un.
Comment l'éviter : Repars des informations de l'énoncé. Choisis ensuite une propriété dont les conditions sont déjà vérifiées pour démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme.
Voir autrement
La leçon ne passe pas ? Choisis une autre façon de comprendre. Une seule s'ouvre à la fois.
Dessine ABCD en plaçant ses sommets dans l'ordre autour du quadrilatère. Repasse [AB] et [CD] d'une couleur, puis [AD] et [BC] d'une autre : tu vois les paires de côtés opposés. Trace ensuite les diagonales [AC] et [BD]. Pour utiliser leur milieu commun O, marque OA et OC avec le même signe, puis OB et OD avec un autre signe.
Un dessin aide à repérer les segments, mais son apparence ne prouve ni un parallélisme ni une égalité de longueurs. Les marques doivent correspondre à des informations données ou démontrées.
Découpe deux bandes de papier de longueurs différentes et marque le milieu de chacune par pliage. Superpose leurs milieux et fixe-les avec une attache qui leur permet de tourner. Les extrémités de la première bande sont A et C ; celles de l'autre sont B et D. Relie A, B, C, D dans cet ordre. En faisant tourner les bandes sans les aligner, tu construis différents parallélogrammes, car leurs diagonales gardent le même milieu.
La manipulation illustre la propriété, mais ne remplace pas sa formulation dans une démonstration. Les bandes ne doivent pas être alignées, sinon le quadrilatère est aplati.
Commence par séparer ce que tu sais de ce que tu cherches. Si tu sais déjà qu'ABCD est un parallélogramme, tu peux en déduire que ses côtés opposés sont parallèles ou que ses diagonales ont le même milieu. Si tu dois prouver qu'ABCD est un parallélogramme, établis soit les parallélismes des côtés opposés, soit l'existence d'un milieu commun aux diagonales. Écris ensuite : les informations connues, la propriété utilisée, puis la conclusion.
Tu ne peux pas utiliser comme point de départ la conclusion que tu dois démontrer. Une seule paire de côtés parallèles ou une seule diagonale partagée en son milieu ne suffit pas.
Il te manque peut-être une notion d'avant :Inégalité triangulaire : peut-on tracer ce triangle ?Revoir les bases pas à pas
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À retenir
- Définition : les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles deux à deux.
- Pour reconnaître un parallélogramme, on peut prouver que ses diagonales ont le même milieu.
- Deux côtés opposés parallèles et de même longueur suffisent aussi à reconnaître un parallélogramme.
- Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur et les diagonales se coupent en leur milieu.
- Une démonstration s’appuie sur des données et une propriété, jamais seulement sur le dessin.
Les mots de la leçon
- Côtés opposés
- Côtés d’un quadrilatère qui n’ont pas de sommet commun. Dans ABCD, [AB] et [CD] sont opposés, tout comme [AD] et [BC].
- Diagonale
- Segment qui relie deux sommets non consécutifs d’un quadrilatère. Les diagonales de ABCD sont [AC] et [BD].
- Milieu
- Point d’un segment situé à égale distance de ses extrémités.
- Propriété caractéristique
- Propriété qui est vraie pour une figure donnée et qui, réciproquement, permet de reconnaître cette figure.