Mathématiques · 3e · Géométrie
Triangles semblables : reconnaître une même forme
Au programme de 3e : Reconnaître des triangles semblables
Environ 15 min
Comprendre
Reconnaître des triangles semblables permet de repérer des triangles de même forme, même s’ils n’ont pas la même taille ou ne sont pas orientés de la même façon. On s’appuie sur les angles ou sur les longueurs des côtés, et non sur l’apparence du dessin.
La figure
Les longueurs sont exprimées en centimètres.
Le cours
Définition : deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont égaux deux à deux. On associe les sommets qui portent des angles égaux : ce sont les sommets correspondants. Si A correspond à D, B à E et C à F, les côtés correspondants sont AB et DE, BC et EF, AC et DF.
Pour reconnaître des triangles semblables grâce aux angles, il suffit de trouver deux paires d’angles égaux. En effet, la somme des angles d’un triangle vaut 180° : les angles restants sont donc eux aussi égaux.
Propriété caractéristique : deux triangles sont semblables si et seulement si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles deux à deux. Avec les correspondances précédentes, cela s’écrit DE/AB = EF/BC = DF/AC. Ainsi, la proportionnalité des côtés permet de prouver que les triangles sont semblables ; inversement, des triangles semblables ont leurs côtés correspondants proportionnels.
Le rapport commun des longueurs correspondantes est appelé coefficient de similitude. Il est strictement positif. Pour le calculer, on divise toujours les longueurs dans le même sens, par exemple une longueur du triangle DEF par la longueur correspondante du triangle ABC. Un coefficient supérieur à 1 correspond à un agrandissement ; un coefficient inférieur à 1 correspond à une réduction.
Avant de comparer des longueurs, exprime-les dans la même unité et repère les côtés correspondants. Si seules les longueurs sont connues, associe les côtés du plus court au plus long. Une seule paire d’angles égaux ou deux rapports égaux ne suffisent pas à conclure : il faut deux paires d’angles égaux, ou l’égalité des trois rapports. Une rotation ou un retournement du dessin ne change pas la similitude.
Un exempleDes exemples
Dans le triangle ABC, l’angle en A mesure 47° et l’angle en B mesure 68°. Dans le triangle DEF, l’angle en D mesure 47° et l’angle en E mesure 68°. Calcule la somme des angles indiqués dans chaque triangle, puis explique pourquoi ces triangles sont semblables.
Dans chaque triangle, la somme des angles indiqués vaut 47° + 68° = 115°. L’angle restant complète cette même somme pour former un angle plat : les angles en C et en F sont donc égaux. Les triangles sont semblables, avec A correspondant à D, B à E et C à F. On pouvait conclure dès que les égalités des angles en A et D, puis en B et E, étaient repérées.
Les longueurs sont exprimées en centimètres. Dans ABC, AB = 7, BC = 11 et AC = BC. Dans DEF, DE = 21, EF = 33 et DF = EF. Compare AB/DE et BC/EF, puis détermine si les triangles sont semblables.
On compare 7/21 et 11/33 : le résultat de la comparaison est « = ». Ainsi, AB/DE = BC/EF. Comme AC = BC et DF = EF, le rapport AC/DF est également égal à BC/EF. Les longueurs des côtés correspondants sont donc proportionnelles : les triangles ABC et DEF sont semblables.
Les longueurs sont exprimées en centimètres. Dans ABC, AB = 9, BC = 14 et AC = BC. Dans DEF, DE = 27, EF = 35 et DF = EF. Les côtés AB et DE sont les plus courts de leurs triangles respectifs. Compare AB/DE et BC/EF. Ces triangles sont-ils semblables ?
En associant les côtés du plus court au plus long, on doit comparer 9/27 et 14/35. Le résultat est « < » : les rapports sont différents. Les longueurs des côtés correspondants ne sont donc pas proportionnelles. Les triangles ne sont pas semblables, même s’ils sont tous les deux isocèles.
Démonstration et exemple résolu
RegardeDeux triangles peuvent avoir la même forme sans avoir la même taille : ils sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux égaux. Il suffit de repérer deux paires d’angles égaux, car la dernière paire sera alors égale aussi. On peut également reconnaître des triangles semblables grâce à leurs côtés : les longueurs des côtés correspondants doivent toutes être proportionnelles.
Dans le triangle ABC, l’angle A mesure 42° et l’angle B mesure 68°. Dans le triangle DEF, l’angle E mesure 68° et l’angle F mesure 42°. Montre que ces triangles sont semblables et indique les côtés correspondants.
- Associe A à F et B à E.Les angles A et F ont la même mesure, tout comme les angles B et E. On associe les sommets grâce aux angles, pas grâce à leur place sur le dessin.
- Les angles C et D ont eux aussi la même mesure : chacun mesure 180° − (42° + 68°).La somme des angles d’un triangle vaut 180°. Deux paires d’angles égaux entraînent donc l’égalité de la dernière paire.
- Conclus que les triangles ABC et FED sont semblables.Leurs angles sont deux à deux égaux : c’est la définition de triangles semblables. L’ordre des lettres respecte ici les correspondances.
- Associe AB à FE, BC à ED et AC à FD.Chaque côté relie des sommets correspondants. Les rapports FE/AB, ED/BC et FD/AC sont donc égaux.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Conclure à partir d’une seule paire d’angles égaux.
Comment l'éviter : Tu as trouvé une égalité utile. Cherche maintenant une autre paire d’angles égaux pour pouvoir conclure.
Erreur : Associer les sommets selon leur position sur la feuille.
Comment l'éviter : Repars des angles égaux ou des longueurs correspondantes, puis écris les sommets dans le bon ordre.
Erreur : Mélanger le sens des rapports ou ne vérifier que certaines paires de côtés.
Comment l'éviter : Écris les côtés correspondants face à face. Forme ensuite tous les rapports dans le même sens avant de les comparer.
Voir autrement
La leçon ne passe pas ? Choisis une autre façon de comprendre. Une seule s'ouvre à la fois.
Les longueurs sont exprimées en centimètres.
Sur chaque triangle, colorie de la même couleur les angles dont les mesures sont égales. Repère les sommets qui portent la même couleur, puis associe les côtés reliant les mêmes couleurs. Définition à retenir : des triangles semblables ont leurs angles deux à deux égaux. Deux paires d’angles égaux suffisent pour conclure.
Un dessin qui semble avoir la même forme ne suffit pas. Utilise les mesures données, les codages ou des égalités déjà justifiées.
Propriété caractéristique : des triangles sont semblables si et seulement si les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles. Pour chercher les correspondances à partir des seules longueurs, range les côtés de chaque triangle du plus court au plus long. Compare ensuite les rapports petit côté sur petit côté, côté intermédiaire sur côté intermédiaire et grand côté sur grand côté, toujours dans le même sens. Si tous ces rapports sont égaux, les triangles sont semblables.
Une seule égalité de rapports ne suffit pas : elle ne vérifie que deux paires de côtés. Il faut aussi vérifier la dernière paire. Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
Les longueurs sont exprimées en centimètres.
Décalque un angle de chaque triangle avec des branches assez longues. Fais glisser et tourner les calques pour superposer leurs sommets et une branche : si l’autre branche se superpose aussi, les ouvertures sont les mêmes. Recommence avec une autre paire d’angles. Cette manipulation aide à comprendre qu’une rotation, un retournement ou un changement de taille ne change pas les angles d’une figure semblable.
Une superposition sur papier reste approximative. Pour une justification exacte, appuie-toi sur les mesures ou les codages de l’énoncé, pas seulement sur la manipulation.
S'entraîner
Je m'entraîne
- Une série en paliersDécouverte, confirmé, expert : corrigée tout de suite
- Calcul mentalUn rituel de 3 à 5 minutes, sans chrono imposé
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
Retenir
À retenir
- Des triangles semblables ont leurs angles égaux deux à deux.
- Deux paires d’angles égaux suffisent pour conclure.
- Des côtés proportionnels deux à deux caractérisent des triangles semblables.
- Repère les correspondances avant d’écrire les rapports.
- Compare les longueurs dans la même unité et les rapports dans le même sens.
- L’apparence ou l’orientation du dessin ne constitue pas une preuve.
Les mots de la leçon
- Triangles semblables
- Triangles dont les angles sont égaux deux à deux ; leurs côtés correspondants sont alors proportionnels.
- Côtés correspondants
- Côtés qui se font face dans l’association des triangles. Ils sont opposés à des angles égaux.
- Coefficient de similitude
- Nombre strictement positif par lequel on multiplie toutes les longueurs d’un triangle pour obtenir les longueurs correspondantes de l’autre.