Mathématiques · 3e · Géométrie
Construire l’image d’une figure par une homothétie
Au programme de 3e : Construire l'image d'une figure par une homothétie
Environ 12 min
Comprendre
Une homothétie permet d’agrandir ou de réduire une figure à partir d’un point fixe, sans changer sa forme. Pour construire son image, on utilise le centre et le rapport de l’homothétie.
Le cours
Une homothétie est définie par un centre O et un rapport k. L’image d’un point A est un point A′ aligné avec O et A. La distance OA′ est égale à la distance OA multipliée par la valeur absolue de k, notée |k| : OA′ = |k| × OA. Le centre O reste à la même place.
Le signe du rapport indique où placer l’image. Si k est positif, A′ appartient à la demi-droite [OA) : A et A′ sont du même côté de O. Si k est négatif, A′ appartient à la demi-droite d’origine O opposée à [OA) : A et A′ sont de part et d’autre de O. Ces indications concernent les points différents du centre.
Pour construire l’image d’un point A différent de O, trace la droite (OA), calcule la distance OA′, puis reporte cette distance à partir de O du côté indiqué par le signe de k. Pour construire l’image d’un segment, construis les images de ses extrémités et relie-les. Pour un polygone, construis l’image de chaque sommet, puis relie les sommets images dans le même ordre.
Si |k| > 1, l’homothétie est un agrandissement ; si 0 < |k| < 1, c’est une réduction. Si k = 1, chaque point reste à sa place. Si k = −1, l’homothétie est la symétrie centrale de centre O. Si k = 0, tous les points ont pour image O.
Pour un rapport non nul, l’homothétie conserve les angles, l’alignement et le parallélisme. Toutes les longueurs sont multipliées par |k| : la figure image a donc la même forme que la figure de départ. Un segment et son image sont portés par des droites parallèles ou confondues. Ces propriétés permettent de vérifier la construction.
Un exempleDes exemples
On considère une homothétie de centre O et de rapport 1,8. Le point A vérifie OA = 5 cm. Construis son image A′.
Le rapport est positif : A′ se place sur la demi-droite [OA). On calcule OA′ = 1,8 × 5 = 9 cm. Trace la demi-droite [OA), puis place A′ à 9 cm de O. Comme le rapport est supérieur à l’unité, A′ se trouve au-delà de A.
Construis l’image du segment [AB] par l’homothétie de centre O et de rapport 0,6. On sait que OA = 7 cm.
Le rapport est positif et inférieur à l’unité : il s’agit d’une réduction. Pour placer A′, on calcule OA′ = 0,6 × 7 = 21/5 cm. Place A′ sur [OA), entre O et A. Construis ensuite B′ sur [OB), en multipliant la distance OB par 0,6. Relie A′ à B′ : le segment [A′B′] est l’image de [AB].
Construis l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport −1,5. On sait que OA = 7,2 cm.
Le rapport est négatif : chaque sommet image se place de l’autre côté de O par rapport au sommet de départ. Pour A′, la distance à reporter est OA′ = 1,5 × 7,2 = 54/5 cm. Trace (OA), puis place A′ à 54/5 cm de O, du côté opposé à A. Construis de la même façon B′ et C′ en multipliant OB et OC par 1,5, puis relie A′, B′ et C′.
Démonstration et exemple résolu
RegardeUne homothétie fait glisser chaque sommet sur une droite passant par un même centre O : sa distance à O est multipliée par la valeur absolue du rapport. Si le rapport est positif, le sommet reste du même côté de O ; s'il est négatif, il passe de l'autre côté. En reliant les nouveaux sommets dans le même ordre, tu obtiens la figure image.
Un triangle ABC vérifie OA = 3 cm, OB = 4 cm et OC = 5 cm. Construis son image par l'homothétie de centre O et de rapport −2.
- Trace les droites (OA), (OB) et (OC).Chaque sommet, son image et le centre de l'homothétie sont alignés.
- Sur (OA), place A′ de l'autre côté de O par rapport à A, avec OA′ = 2 × 3 cm.Le rapport est négatif : on change de côté. Sa valeur absolue multiplie la distance au centre.
- Place B′ de l'autre côté de O par rapport à B, avec OB′ = 2 × 4 cm. Place ensuite C′ de l'autre côté de O par rapport à C, avec OC′ = 2 × 5 cm.Le même centre et le même rapport s'appliquent à tous les sommets.
- Relie A′, B′ et C′, puis vérifie que les côtés correspondants sont parallèles.Les sommets images forment le triangle demandé. Le parallélisme permet de repérer certaines erreurs de placement.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Placer systématiquement l'image du même côté du centre que le sommet initial.
Comment l'éviter : Avant de mesurer, regarde le signe : rapport positif, même côté ; rapport négatif, côté opposé. Tu peux maintenant déplacer ton point sur la bonne partie de la droite.
Erreur : Ajouter le rapport à la distance au lieu de multiplier.
Comment l'éviter : Le rapport indique combien de fois la distance change. Écris d'abord « distance image = valeur absolue du rapport × distance initiale », puis reprends ton placement.
Erreur : Construire une figure de la bonne taille, mais sans respecter les droites passant par le centre.
Comment l'éviter : Trace une droite entre O et chaque sommet initial. Chaque sommet image doit être sur la droite correspondante : une figure de la bonne taille ne suffit pas.
Voir autrement
La leçon ne passe pas ? Choisis une autre façon de comprendre. Une seule s'ouvre à la fois.
Trace une droite légère entre O et chaque sommet. Pour chaque sommet image, choisis d'abord le bon côté de O grâce au signe du rapport, puis reporte la bonne distance. Si la valeur absolue du rapport dépasse l'unité, le sommet image est plus loin de O ; si elle est comprise entre zéro et l'unité, il est plus près. Le centre O reste toujours à sa place.
Ce dessin aide à choisir la position, mais l'apparence seule ne suffit pas : vérifie les distances avec une règle ou un compas.
Pour un rapport entier, ouvre le compas sur la distance entre O et un sommet. Sur la droite correspondante, reporte cette ouverture autant de fois que l'indique la valeur absolue du rapport, en partant de O. Choisis le côté avant de commencer : même côté pour un rapport positif, côté opposé pour un rapport négatif. Recommence séparément pour chaque sommet, puis relie les images.
Les reports successifs sont pratiques pour un petit rapport entier. Pour un rapport décimal ou fractionnaire, calcule plutôt chaque distance image avant de la reporter.
Pour construire l'image A′ de A, réponds à deux questions distinctes. Où placer A′ ? Sur (OA), du côté indiqué par le signe du rapport. À quelle distance ? À la distance OA multipliée par la valeur absolue du rapport. Tu peux écrire OA′ = |k| × OA : les barres autour de k indiquent qu'on garde sa valeur sans le signe. Applique ces deux décisions à tous les sommets.
Si un sommet est confondu avec O, son image est O : il n'y a alors ni côté à choisir ni droite à déterminer avec ce seul sommet.
S'entraîner
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- Une série en paliersDécouverte, confirmé, expert : corrigée tout de suite
- Calcul mentalUn rituel de 3 à 5 minutes, sans chrono imposé
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2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
Retenir
À retenir
- Le centre O, le point A et son image A′ sont alignés.
- Le signe du rapport indique le côté où placer l’image.
- La distance au centre est multipliée par |k| : OA′ = |k| × OA.
- Pour un polygone, construis les images de tous les sommets, puis relie-les dans le même ordre.
- Si |k| > 1, on agrandit ; si 0 < |k| < 1, on réduit.
- Pour un rapport non nul, les angles sont conservés et toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre.
Les mots de la leçon
- Homothétie
- Transformation définie par un centre et un rapport, qui multiplie les distances au centre par un même nombre et place les images selon le signe du rapport.
- Centre d’une homothétie
- Point fixe à partir duquel on place les images. Chaque point, son image et le centre sont alignés.
- Rapport d’une homothétie
- Nombre qui détermine à la fois le côté où placer les images et le facteur par lequel les longueurs sont multipliées.
- Valeur absolue
- Distance d’un nombre à zéro, notée avec des barres : |k|. Elle est égale au nombre lui-même s’il est positif, et à son opposé s’il est négatif.
- Image d’une figure
- Figure obtenue en transformant tous les points de la figure de départ.