Mathématiques · 3e · Géométrie
Translation, rotation, symétrie centrale : quelle image ?
Au programme de 3e : Reconnaître l'effet d'une translation, d'une rotation ou d'une symétrie centrale
Environ 12 min
Comprendre
Les transformations permettent de décrire comment une figure est déplacée dans le plan sans changer sa forme ni ses dimensions. Pour reconnaître la bonne image parmi plusieurs figures, on vérifie les caractéristiques du déplacement, et pas seulement la ressemblance des dessins.
Choisis un mouvement, puis fais avancer le calque. Regarde sur quelle figure (P, Q, R) il tombe.
Le cours
Une translation fait glisser une figure sans la faire tourner. Elle est définie par une direction, un sens et une longueur de déplacement, que l’on peut représenter par une flèche allant d’un point A à son image A′. Tous les points de la figure se déplacent selon la même direction, dans le même sens et sur la même longueur : les flèches reliant les points à leurs images sont donc parallèles, de même sens et de même longueur.
Une rotation fait tourner une figure autour d’un point fixe appelé centre. Elle est définie par son centre, son angle et son sens : horaire, comme les aiguilles d’une montre, ou antihoraire, dans le sens contraire. Si A′ est l’image de A par une rotation de centre O, alors OA = OA′ et le passage du rayon [OA) au rayon [OA′) respecte l’angle et le sens indiqués. Le centre O reste à la même place.
Une symétrie centrale de centre O est un demi-tour autour de O : c’est une rotation de 180°. Si A′ est l’image de A, alors A, O et A′ sont alignés et O est le milieu du segment [AA′]. Ainsi, A et A′ sont de part et d’autre de O, à la même distance de O. Le centre O reste fixe.
Ces transformations conservent les longueurs, les angles, l’alignement et les aires : la figure et son image ont la même forme et les mêmes dimensions. Une figure agrandie, réduite ou déformée ne convient donc pas. Cependant, avoir la même forme et les mêmes dimensions ne suffit pas pour être l’image demandée : le déplacement doit aussi respecter toutes les indications.
Pour choisir parmi plusieurs figures, repère des points faciles à reconnaître, comme les sommets d’un triangle. Pour une translation, compare les flèches de déplacement ; pour une rotation, vérifie le centre, les distances au centre, l’angle et le sens ; pour une symétrie centrale, vérifie que le centre est le milieu des segments reliant les points à leurs images. Élimine les figures qui échouent à un contrôle et vérifie plusieurs points de la figure retenue. Une réflexion par rapport à une droite n’est pas une symétrie centrale : la symétrie centrale correspond à un demi-tour, pas à un effet de miroir.
Un exempleDes exemples
Sur un dessin gradué en centimètres, un triangle subit une translation horizontale de 7 cm vers la droite. Son sommet A a pour abscisse 8 cm. Parmi plusieurs triangles proposés, comment reconnaître son image ?
L’abscisse de A′ doit être 8 + 7 = 15 cm, et A′ doit être à la même hauteur que A. Cela permet d’éliminer certaines propositions. Il faut ensuite vérifier que les autres sommets sont eux aussi déplacés horizontalement de 7 cm vers la droite : placer correctement A′ ne suffit pas à garantir que tout le triangle est bien placé.
Deux rayons issus de O sont repérés à partir d’une même direction de référence, dans le sens antihoraire : le rayon de départ est repéré par 46° et le rayon d’arrivée par 163°. On passe du premier au second dans le sens antihoraire, sans franchir la direction de référence. Quel angle de rotation faut-il reconnaître pour choisir l’image d’une figure ?
L’angle parcouru est la différence entre les repères : 163° − 46° = 117°. Il faut donc retenir la figure obtenue par une rotation de centre O et d’angle 117° dans le sens antihoraire. Chaque point image doit rester à la même distance de O que son point de départ, et tous les points doivent tourner du même angle dans le même sens.
Un sommet A d’une figure est situé à 11 cm de O. Parmi plusieurs figures proposées, on cherche l’image par la symétrie centrale de centre O. Où doit se trouver le sommet A′ correspondant, et quelle doit être la longueur AA′ ?
A′ doit être sur la droite (AO), de l’autre côté de O, avec OA′ = 11 cm. Comme O est le milieu de [AA′], la longueur AA′ vaut 2 × 11 = 22 cm. Une proposition qui respecte seulement cette longueur ne suffit pas : O doit aussi être le milieu de [AA′], et la même propriété doit être vérifiée pour les autres sommets.
Démonstration et exemple résolu
RegardeUne translation fait glisser une figure : tous ses points se déplacent dans la même direction, dans le même sens et sur la même distance. Une rotation fait tourner la figure autour d’un centre, selon un angle et un sens donnés. Une symétrie centrale correspond à un demi-tour : le centre se trouve au milieu de chaque segment reliant un point à son image.
Un triangle ABC doit subir la symétrie centrale de centre O. Trois figures sont proposées : dans la figure P, le triangle a simplement glissé ; dans la figure Q, O est le milieu de chacun des segments reliant les sommets du triangle à leurs images ; dans la figure R, le triangle a effectué un quart de tour autour de O. Quelle figure convient ?
- Je cherche l’effet d’un demi-tour autour de O.Une symétrie centrale et une rotation d’un demi-tour autour du même centre produisent la même image.
- Je vérifie que chaque sommet et son image sont alignés avec O, de part et d’autre de O et à la même distance de O.Ces conditions signifient que O est le milieu du segment qui relie chaque sommet à son image.
- Je retiens la figure Q.Elle respecte la condition du milieu pour tous les sommets. Le simple glissement et le quart de tour ne conviennent pas.
Les erreurs fréquentes
Erreur : Choisir une figure de même forme et de même taille sans vérifier sa position.
Comment l'éviter : Tu as reconnu une figure de mêmes dimensions. Vérifie maintenant le déplacement d’un sommet, puis celui des autres.
Erreur : Reconnaître une rotation avec le bon angle, mais dans le mauvais sens ou autour du mauvais centre.
Comment l'éviter : Le mouvement ressemble à celui demandé. Repars du centre indiqué et suis le sens de rotation avant de comparer les positions finales.
Erreur : Confondre symétrie centrale et symétrie axiale.
Comment l'éviter : Relie un sommet à son image supposée. Pour une symétrie centrale, le centre doit être le milieu de ce segment. Vérifie ensuite les autres sommets.
Voir autrement
La leçon ne passe pas ? Choisis une autre façon de comprendre. Une seule s'ouvre à la fois.
Repère des sommets faciles à reconnaître, par exemple la pointe et un coin d’une figure. Pour une translation, imagine les flèches qui relient ces points à leurs images : elles doivent avoir la même direction, le même sens et la même longueur. Pour une rotation, regarde si les points tournent autour du centre indiqué, en conservant leur distance à ce centre. Pour une symétrie centrale, cherche un demi-tour autour du centre.
Une silhouette très régulière peut sembler inchangée après une transformation. Utilise alors des points nommés ou un détail distinctif, et vérifie plusieurs points.
Reproduis la figure sur un calque en marquant ses sommets. Pour tester une translation, fais glisser le calque sans le faire tourner. Dans le cas d’une rotation, maintiens le centre avec la pointe d’un crayon et tourne le calque dans le sens demandé. Un demi-tour permet de tester une symétrie centrale. La bonne proposition doit coïncider avec tous les traits et tous les sommets marqués.
Ne retourne pas le calque : ce geste peut produire une symétrie axiale au lieu de la transformation demandée. Une superposition approximative ne remplace pas la vérification des indications de la figure.
Commence par lire toutes les indications : déplacement pour une translation ; centre, angle et sens pour une rotation ; centre pour une symétrie centrale. Élimine une proposition dès qu’un point ne respecte pas ces indications. Pour justifier ton choix final, vérifie les autres sommets : un seul point bien placé ne suffit pas à reconnaître l’image de toute la figure.
La conservation des longueurs ne suffit pas : les trois transformations conservent les longueurs. Pour une rotation, un angle correct ne suffit pas non plus si le centre ou le sens est incorrect.
S'entraîner
Je m'entraîne
- Une série en paliersDécouverte, confirmé, expert : corrigée tout de suite
- Calcul mentalUn rituel de 3 à 5 minutes, sans chrono imposé
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
Retenir
À retenir
- Translation : même direction, même sens et même longueur pour tous les déplacements.
- Rotation : un centre, un angle et un sens à respecter.
- Symétrie centrale : un demi-tour ; le centre est le milieu de chaque segment reliant un point à son image.
- Ces transformations conservent la forme et les dimensions.
- Vérifie plusieurs points : une simple ressemblance ne suffit pas.
Les mots de la leçon
- Image d’un point
- Point obtenu après une transformation. On note souvent A′ l’image du point A.
- Translation
- Transformation qui fait glisser tous les points selon la même direction, dans le même sens et sur la même longueur.
- Rotation
- Transformation qui fait tourner une figure autour d’un centre, selon un angle et un sens donnés.
- Symétrie centrale
- Transformation correspondant à un demi-tour autour d’un point appelé centre de symétrie.