Mathématiques · 3e · environ 15 min
Lire et normaliser une écriture algébrique
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Observe a × x × y × x × y × x. Imagine une couleur pour les x et une autre pour les y. En regroupant les facteurs de même couleur, tu lis a × (x × x × x) × (y × y), donc ax³y². Le coefficient reste devant ; chaque exposant compte seulement les facteurs de la lettre concernée.
Cette lecture s’applique à un produit. Dans x + x, les termes sont additionnés : on ne peut pas les remplacer par x².
Prépare des cartes portant a, x, y et le signe ×. Pour représenter ax²y, pose une carte a, deux cartes x et une carte y, puis glisse un signe × entre chaque carte. Tu obtiens a × x × x × y. Replie ensuite les facteurs x identiques sous la forme x².
Une puissance porte sur ce qui est juste avant elle. Pour (x + y)², il faut deux cartes représentant chacune tout le bloc (x + y), et non deux cartes x puis deux cartes y.
Compare ax et xᵃ. Dans ax, a est un facteur : tu lis a × x. Dans xᵃ, si a est un entier positif, a indique combien de facteurs x sont multipliés. Compare aussi x + x et x × x : le signe entre les lettres change entièrement l’opération. Avant de raccourcir une écriture, repère donc les signes réellement présents.
La lecture d’une puissance comme une répétition de facteurs concerne ici les exposants entiers strictement positifs. Ne supprime jamais un signe + ou − sous prétexte de raccourcir l’écriture.
Les pièges
Confondre ax et xᵃ.
Rétablis les signes : ax devient a × x. Pour une puissance d’exposant entier positif, écris les facteurs x un par un.
Remplacer x + x par x².
Regarde d’abord le signe entre les lettres. Tu peux regrouper des facteurs identiques en puissance seulement lorsqu’ils sont multipliés.
Lire a(x + y) comme a × x + y.
Quand tu rétablis le signe ×, conserve les parenthèses : a × (x + y). Tu n’as pas besoin de développer.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
En calcul littéral, certaines multiplications ne sont pas écrites : il faut savoir les reconnaître pour lire et transformer une expression sans changer sa valeur. Les conventions d’écriture permettent d’écrire plus simplement les produits de nombres et de lettres.
Le cours
On peut supprimer le signe × entre un nombre et une lettre, entre deux lettres ou devant une parenthèse : 8 × x s’écrit 8x ; a × b s’écrit ab ; 6 × (x + 5) s’écrit 6(x + 5). En revanche, on ne supprime pas le signe × entre deux nombres : 8 × 6 ne s’écrit pas 86.
Dans un produit, on place généralement le nombre devant les lettres : c’est le coefficient. On peut changer l’ordre des facteurs et regrouper les facteurs numériques pour les multiplier : x × 7 × 4 s’écrit 28x. Lorsqu’il y a plusieurs lettres, on les range généralement dans l’ordre alphabétique : b × 9 × a s’écrit 9ab.
Un produit de plusieurs facteurs identiques s’écrit avec une puissance : x × x = x² et x × x × x = x³. L’exposant indique combien de fois la base apparaît comme facteur. Ainsi, 5 × x × x × y s’écrit 5x²y. Attention : x² n’est pas égal à 2x ; x² signifie x × x, tandis que 2x signifie 2 × x.
Le coefficient 1 ne s’écrit généralement pas : 1x = x. De même, (−1) × x s’écrit −x, et 0 × x = 0. Les signes + et − qui séparent des termes ne disparaissent pas : x + x est une somme, alors que x × x est un produit. Une parenthèse reste nécessaire lorsqu’un nombre multiplie toute une somme : 4(x + 3) signifie 4 × (x + 3), et non 4x + 3.
Pour rétablir les opérations implicites, on remet les signes × et on développe l’écriture des puissances en produits de facteurs identiques : 7a²b signifie 7 × a × a × b. Il faut respecter la portée des puissances et des parenthèses : 3x² signifie 3 × x × x, tandis que (3x)² signifie (3 × x) × (3 × x).
Des exemples
Écris sous forme conventionnelle le produit 23 × x × 7.
On regroupe les facteurs numériques : 23 × 7 × x. Leur produit vaut 161. L’expression s’écrit donc 161x : le coefficient est placé devant la lettre, sans signe ×.
Écris sous forme conventionnelle le produit 13 × x × 19 × x.
On regroupe les nombres et les lettres identiques : (13 × 19) × (x × x). Le coefficient vaut 247, et x × x s’écrit x au carré. On obtient donc 247x au carré, avec le carré porté uniquement par x.
Rétablis toutes les multiplications dans x^4, puis calcule sa valeur pour x = 17.
L’exposant 4 indique le nombre de facteurs égaux à x : x^4 signifie x × x × x × x. Pour x = 17, on obtient 17 × 17 × 17 × 17, soit 83521.
À retenir
- Un nombre placé devant une lettre la multiplie : 6x = 6 × x.
- Dans un produit, regroupe les nombres et place le coefficient devant les lettres.
- Une puissance remplace un produit de facteurs identiques : x³ = x × x × x.
- Ne confonds pas un produit, une somme et une puissance : 2x, x + 2 et x² sont des écritures différentes.
- Conserve les parenthèses nécessaires et vérifie ce que chaque puissance concerne.
- Pour lire une écriture abrégée, rétablis les signes × et les facteurs répétés.
Les mots de la leçon
- Facteur
- Élément d’un produit. Dans 5 × x, les facteurs sont 5 et x.
- Coefficient
- Nombre qui multiplie la partie littérale d’un terme. Dans 9x², le coefficient est 9.
- Puissance
- Écriture qui permet notamment d’abréger un produit de facteurs identiques. Par exemple, a³ = a × a × a.
- Exposant
- Nombre écrit en haut à droite d’une base. Lorsqu’il est entier positif, il indique combien de fois cette base apparaît comme facteur.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans a × x × x, le nombre a multiplie deux facteurs x : on écrit ax². Dans l’autre sens, bx³ signifie b × x × x × x : le nombre placé devant multiplie, tandis que l’exposant indique combien de facteurs x sont présents.
Écris sans signe de multiplication l’expression x × a × x × y, puis rétablis toutes les multiplications.
- Regroupe les facteurs : a × x × x × y.Dans un produit, changer l’ordre des facteurs ne change pas le résultat. On place habituellement le coefficient devant les lettres.
- Remplace x × x par x² : tu obtiens ax²y.La puissance compte les facteurs identiques multipliés entre eux.
- Pour relire ax²y sans opération implicite, écris a × x × x × y.Le coefficient multiplie les lettres, et le carré correspond à deux facteurs x.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Passer d’une écriture avec multiplications explicites à une écriture conventionnelle avec coefficients et puissances, puis rétablir les opérations implicites sans ambiguïté.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers