Mathématiques · 3e · environ 20 min
Résoudre les équations ax = c, x + b = c et ax + b = c
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Imagine les deux membres de l’équation sur les plateaux d’une balance. Pour x + b = c, retirer b de chaque plateau laisse x seul. Pour ax = c, partager chaque plateau par a laisse x seul. Pour ax + b = c, retire d’abord b des deux côtés, puis divise les deux côtés par a.
La balance aide surtout avec des quantités positives. Avec des nombres négatifs, garde la règle algébrique : effectuer la même opération des deux côtés. La division exige que a soit non nul.
Dans ax + b = c, on part de x, on multiplie par a, puis on ajoute b pour obtenir c. Remonte ce parcours en sens inverse : pars de c, soustrais b, puis divise par a. Pour ax = c, il suffit de diviser par a ; pour x + b = c, il suffit de soustraire b.
Cette méthode s’applique directement aux trois formes étudiées lorsque a est non nul. Si une expression contient plusieurs termes en x, il faut d’abord les regrouper.
Une valeur proposée n’est pas forcément une solution. Remplace x par cette valeur dans l’équation de départ, calcule chaque membre séparément, puis compare-les. S’ils sont différents, reprends tes calculs : as-tu soustrait le terme ajouté avec son signe ? As-tu divisé tout le membre obtenu par le coefficient de x ?
Le contrôle permet d’accepter ou de rejeter une valeur, mais ne suffit pas toujours à la trouver. Utilise une valeur exacte : un arrondi peut donner deux résultats seulement proches.
Les pièges
Effectuer une opération d’un seul côté de l’équation.
Écris l’opération sous chaque membre avant de simplifier. Ce que tu fais à gauche, fais-le aussi à droite.
Perdre le signe d’un coefficient ou d’un terme ajouté.
Garde les nombres négatifs entre parenthèses pendant le calcul et conserve leur signe jusqu’à la fin.
Diviser seulement une partie du membre de droite.
Écris x = (c − b)/a. Les parenthèses montrent exactement ce que tu divises.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Une équation permet de trouver une valeur inconnue à partir d’une égalité, par exemple pour retrouver un prix ou une longueur. Pour la résoudre, on isole l’inconnue, puis on vérifie la valeur obtenue dans l’équation de départ.
Le cours
Une équation est une égalité contenant une inconnue, souvent notée x. Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent cette égalité vraie. Dans les équations étudiées ici, a, b et c sont des nombres connus ; ax signifie a × x.
Pour isoler x, on conserve l’égalité en effectuant la même opération dans les deux membres : ajouter ou soustraire un même nombre, multiplier ou diviser par un même nombre non nul. On écrit les égalités successives jusqu’à obtenir x seul dans un membre.
Pour résoudre ax = c avec a ≠ 0, on divise les deux membres par a : x = c/a. Cette règle reste valable lorsque a est négatif. Pour résoudre x + b = c, on soustrait b aux deux membres : x = c − b. Si b est négatif, soustraire b revient à ajouter son opposé.
Pour résoudre ax + b = c avec a ≠ 0, on procède en deux étapes : on soustrait d’abord b aux deux membres pour obtenir ax = c − b, puis on divise les deux membres par a. La solution est donc x = (c − b)/a. Les parenthèses indiquent que toute la différence c − b est divisée par a.
Pour contrôler une solution, on remplace x par la valeur trouvée dans l’équation de départ et on calcule séparément les deux membres. S’ils sont égaux, la valeur convient ; sinon, il faut reprendre les calculs. Une solution peut être négative, décimale ou fractionnaire : on conserve une valeur exacte plutôt qu’un arrondi.
Des exemples
Résous l’équation 13x = 91, puis vérifie la solution.
On divise les deux membres par 13 : x = 91/13 = 7. Pour vérifier, on remplace x par 7 : 13 × 7 = 91. L’égalité est vraie ; la solution est donc 7.
Résous l’équation x + (-17) = 26, puis vérifie la solution.
On soustrait -17 aux deux membres : x = 26 − (-17). Comme -17 est négatif, soustraire ce nombre revient à ajouter son opposé. On obtient x = 43. Vérification dans l’équation de départ : 43 + (-17) = 26. La solution est donc 43.
Résous l’équation -8x + 19 = 47, puis vérifie la solution.
On soustrait 19 aux deux membres : -8x = 47 − 19. On divise ensuite les deux membres par -8 : x = (47 − 19)/(-8) = -7/2. Vérification dans l’équation de départ : (-8) × (-7/2) + 19 = 47. La solution est donc -7/2.
À retenir
- Effectuer la même opération dans les deux membres conserve l’égalité.
- ax = c : diviser par a, avec a ≠ 0.
- x + b = c : soustraire b.
- ax + b = c : soustraire b, puis diviser par a, avec a ≠ 0.
- Respecter les signes et conserver une valeur exacte.
- Vérifier en remplaçant x dans l’équation de départ.
Les mots de la leçon
- Équation
- Égalité contenant une inconnue dont on cherche les valeurs qui rendent l’égalité vraie.
- Inconnue
- Nombre à déterminer, généralement représenté par une lettre comme x.
- Membre
- Expression située d’un côté du signe égal : on distingue le membre de gauche et le membre de droite.
- Solution
- Valeur de l’inconnue qui rend vraie l’égalité de départ.
- Substitution
- Remplacement d’une lettre par une valeur ; elle permet notamment de vérifier une solution.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeRésoudre une équation, c’est trouver la valeur de x qui rend l’égalité vraie. Pour x + b = c, on soustrait b des deux côtés ; pour ax = c, on divise les deux côtés par a, à condition que a soit non nul. Pour ax + b = c, on soustrait d’abord b, puis on divise par a ; enfin, on remplace x par la valeur trouvée pour contrôler l’égalité.
Résous ax + b = c, avec a non nul, puis contrôle la solution.
- ax + b − b = c − b, donc ax = c − b.Soustraire la même quantité des deux côtés conserve l’égalité et supprime le terme ajouté à ax.
- ax ÷ a = (c − b) ÷ a, donc x = (c − b)/a.Comme a est non nul, on peut diviser les deux côtés par a pour isoler x.
- Dans le membre de gauche, remplace x par (c − b)/a : a × ((c − b)/a) + b = c − b + b = c.On retrouve le membre de droite : la valeur trouvée est bien solution.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Isoler l’inconnue dans chacun des trois types d’équations, avec a non nul lorsque nécessaire, puis contrôler la solution par substitution.
- Au programme
- 3e · BOEN n°31 du 30 juillet 2020 (cycle 4, programme PRÉCÉDENT, encore en vigueur pour 4e/3e en 2026-2027) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 20 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers