Mathématiques · CM2 · environ 10 min
Reconnaître que les lancers précédents ne changent pas le suivant
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine les six faces d’un dé dans six cases de même taille. Sous le dessin, note quelques résultats imaginaires, même plusieurs résultats identiques. Reviens aux cases : aucune n’est barrée et aucune n’est agrandie. Au prochain lancer, chaque face garde la même chance.
Ce dessin représente les chances d’un dé équilibré. Il ne dit pas quel résultat va réellement sortir.
Prends un dé équilibré et observe ses faces. Lance-le plusieurs fois, puis reprends-le dans ta main. Vérifie que les mêmes faces sont toujours présentes. Relance-le de la même manière : rien dans les résultats déjà obtenus n’a changé ses faces ni leurs chances.
Quelques lancers ne suffisent pas à vérifier exactement les chances. Même avec un dé équilibré, les résultats peuvent être très différents les uns des autres sur une petite série.
Compare ces deux idées : « Cette face sort souvent, elle va continuer » et « Cette face ne sort jamais, elle doit arriver ». Aucune ne permet de prévoir le prochain lancer. Retiens plutôt : « Je regarde le dé maintenant, pas la liste des résultats d’avant. »
Cette règle vaut quand on relance le même dé équilibré dans les mêmes conditions. Elle ne s’applique pas à un tirage où l’on retire des objets sans les remettre.
Les pièges
Penser qu’une face longtemps absente doit bientôt sortir.
Tu as utilisé les résultats passés pour prévoir le suivant. Regarde plutôt le dé : la face absente a toujours la même chance que chaque autre face.
Penser qu’une face souvent obtenue va forcément continuer à sortir.
Tu as repéré une répétition. Elle peut continuer ou s’arrêter, mais elle ne change pas les chances du prochain lancer.
Croire que des chances identiques imposent autant de sorties pour chaque face sur une petite série.
Des faces qui ont les mêmes chances peuvent sortir des nombres de fois différents. Une petite série n’a pas besoin d’être parfaitement répartie.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Quand on lance un dé plusieurs fois, on peut être tenté de prévoir le prochain résultat à partir des précédents. Cette leçon t’aide à comprendre pourquoi une série de résultats ne change pas les chances au lancer suivant.
Le cours
Un dé équilibré est un dé dont toutes les faces ont la même chance de sortir. Avec un dé équilibré à six faces, chaque face a une chance sur six d’apparaître à chaque lancer.
Si l’on relance le même dé dans les mêmes conditions, les résultats précédents ne changent pas les chances du prochain lancer. On dit que les lancers sont indépendants : le dé ne garde pas de souvenir de ce qui est sorti.
Une face sortie plusieurs fois de suite n’a donc ni plus ni moins de chances de sortir encore. De même, une face qui n’est pas sortie depuis longtemps n’a pas davantage de chances d’apparaître : elle n’a aucun retard à rattraper.
Pour connaître les chances au prochain lancer, on regarde les faces du dé et le résultat recherché, sans tenir compte des lancers précédents. Attention : des chances égales ne garantissent pas que toutes les faces sortiront aussi souvent au cours d’une série.
Des exemples
On lance un dé équilibré. La même face vient de sortir plusieurs fois de suite. Avant cette série, cette face avait 1 chance sur 6 de sortir. Au prochain lancer, elle a toujours 1 chance sur 6 de sortir. Compare ces chances.
La comparaison donne = : les chances sont égales. La répétition de cette face ne la rend ni plus probable ni moins probable au prochain lancer.
On lance un dé équilibré dont les faces portent les nombres habituels. Plusieurs résultats impairs viennent de sortir. Avant cette série, obtenir un nombre pair avait 3 chances sur 6 de se produire. Au prochain lancer, cette chance reste de 3 sur 6. Compare ces chances.
La comparaison donne = : les chances sont égales. Les faces portant un nombre pair sont toujours aussi nombreuses et ont toujours les mêmes chances de sortir. La série de résultats impairs ne rend pas un résultat pair plus probable.
À retenir
- Avec un dé équilibré, toutes les faces ont la même chance de sortir.
- Dans les mêmes conditions, les lancers précédents ne changent pas les chances au lancer suivant.
- Une face souvent sortie peut encore sortir.
- Une face absente depuis longtemps n’a pas de retard à rattraper.
- Des chances égales ne garantissent pas des résultats répartis également.
Les mots de la leçon
- Indépendance
- Le fait que le résultat d’un lancer ne change pas les chances des résultats du lancer suivant, lorsque l’on répète l’expérience dans les mêmes conditions.
- Dé équilibré
- Dé dont toutes les faces ont la même chance de sortir.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeTu lances un dé équilibré et tu obtiens plusieurs fois la même face. Au lancer suivant, aucune face n’a disparu et aucune n’a été ajoutée : chaque face garde la même chance de sortir. Le dé ne garde pas le souvenir des lancers précédents.
Un dé équilibré à six faces vient de donner trois fois un six. Lina pense que le six a maintenant moins de chances de sortir. A-t-elle raison ?
- Regarde le dé : il possède toujours les mêmes faces.Les résultats précédents ne modifient pas le dé.
- Pour le prochain lancer, compte une face portant un six parmi les six faces possibles.Le six garde une chance sur six de sortir, comme chaque autre face.
- Réponds que Lina n’a pas raison : le six n’est devenu ni moins probable ni plus probable.Une série de résultats ne change pas les chances au lancer suivant, si le dé et la façon de lancer restent les mêmes.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Indiquer que les chances d’obtenir un résultat au prochain lancer d’un dé restent identiques, quels que soient les résultats précédents.
- Au programme
- CM2 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers