Construire un arbre ou un tableau pour deux étapes

Quand une expérience au hasard se déroule en deux étapes, un arbre ou un tableau permet de trouver tous les résultats possibles sans en oublier. On peut ensuite compter les résultats qui nous intéressent pour déterminer leur probabilité.

Le cours

1. Une issue est un résultat possible de l’expérience complète. Pour une expérience en deux étapes, elle indique le résultat de la première étape, puis celui de la seconde. L’ordre compte : obtenir rouge puis bleu n’est pas la même issue qu’obtenir bleu puis rouge.

2. Pour construire un arbre, trace une branche pour chaque résultat possible de la première étape. Au bout de chacune de ces branches, trace les branches correspondant aux résultats possibles de la seconde étape. Chaque chemin complet, du départ à une extrémité, représente une issue.

3. Pour construire un tableau, place les résultats possibles de la première étape au début des lignes et ceux de la seconde étape en haut des colonnes. Dans chaque case, écris le couple de résultats correspondant. Chaque case représente une issue. Lorsque les mêmes choix sont possibles à la seconde étape après chaque résultat de la première, le nombre total d’issues s’obtient en multipliant le nombre de lignes par le nombre de colonnes.

4. Un évènement regroupe les issues qui respectent une condition, par exemple « obtenir la même couleur aux deux étapes ». Pour trouver les issues favorables à cet évènement, repère les chemins de l’arbre ou les cases du tableau qui respectent cette condition, puis compte-les.

5. Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité d’un évènement est la fraction : nombre d’issues favorables / nombre total d’issues. Vérifie bien cette égalité des chances avant d’utiliser cette règle. Le calcul doit tenir compte du nombre d’issues favorables et du nombre total d’issues possibles.

Des exemples

• On fait tourner une roue partagée en 3 secteurs de même taille, portant les couleurs rouge, vert et bleu. Puis on tire au hasard une carte parmi 5 cartes portant les lettres A, B, C, D et E. Chaque carte a la même chance d’être tirée, quelle que soit la couleur obtenue. Construis un arbre pour recenser les issues et déterminer la probabilité de l’évènement « obtenir rouge ».

  L’arbre commence par 3 branches : rouge, vert et bleu. Chacune se prolonge par 5 branches : A, B, C, D et E. On peut le représenter ainsi : Départ → rouge → A, B, C, D, E Départ → vert → A, B, C, D, E Départ → bleu → A, B, C, D, E Chaque chemin complet donne une issue, par exemple « vert puis C ». Le nombre total d’issues est 3 × 5 = 15. L’évènement « obtenir rouge » correspond aux 5 chemins qui passent par rouge. Toutes les issues ont la même chance de se produire : la probabilité cherchée est donc 5/15.

• Un sac contient 4 jetons de même forme, portant chacun un symbole différent : soleil, lune, étoile ou nuage. On tire un jeton au hasard, on note son symbole et on le remet dans le sac. On mélange, puis on tire à nouveau parmi les 4 jetons. Construis un tableau et détermine la probabilité de l’évènement « obtenir le même symbole à chaque tirage ».

  Comme le jeton est remis dans le sac, tous les symboles restent possibles au second tirage. Le tableau comporte 4 lignes et 4 colonnes. Dans les couples ci-dessous, S signifie soleil, L signifie lune, E signifie étoile et N signifie nuage. Le symbole du premier tirage est écrit avant celui du second. Premier tirage / second tirage | S | L | E | N S | (S, S) | (S, L) | (S, E) | (S, N) L | (L, S) | (L, L) | (L, E) | (L, N) E | (E, S) | (E, L) | (E, E) | (E, N) N | (N, S) | (N, L) | (N, E) | (N, N) Le nombre total d’issues est 4 × 4 = 16. Les cases favorables sont (S, S), (L, L), (E, E) et (N, N) : il y en a 4. Toutes les issues ont la même chance de se produire. La probabilité d’obtenir le même symbole à chaque tirage est donc 4/16.