Mathématiques · CM2 · environ 15 min
Comparer les chances de deux évènements simples
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine une rangée de cases pour chaque tirage : une case représente une chance. Colorie les cases gagnantes. Si les rangées ont la même longueur, celle qui contient le plus de cases coloriées correspond à l’évènement le plus probable. Si elles ont autant de cases coloriées, cherche celle qui contient le moins de cases en tout.
Les cases doivent représenter des chances égales. Cette comparaison directe convient lorsque les totaux sont identiques ou lorsque les nombres de chances favorables sont identiques.
Prépare un sac avec des jetons gagnants et des jetons perdants, tous de même forme. Observe son contenu, puis ajoute seulement des jetons perdants. Les gagnants sont toujours là, mais ils sont davantage entourés de perdants : gagner devient moins probable. Tu peux aussi garder le même total et remplacer un jeton perdant par un gagnant : gagner devient alors plus probable.
Il faut bien mélanger et tirer sans regarder. Quelques essais ne suffisent pas à prouver le classement : justifie-le avec le contenu des sacs.
Repère d’abord ce qui est identique. Même total ? Compare les chances favorables : davantage de gagnants signifie davantage de chances. Même nombre de gagnants ? Compare les totaux : moins de possibilités en tout signifie davantage de chances. Termine par une phrase qui indique ce qui est pareil et ce qui change.
Si les totaux et les nombres de chances favorables sont tous différents, ces règles ne permettent pas de conclure directement.
Les pièges
Choisir toujours le tirage qui a le plus grand total.
Tu as comparé les totaux. Regarde maintenant les chances favorables : si elles sont aussi nombreuses, le plus petit total est préférable.
Croire que des totaux identiques donnent forcément des probabilités égales.
Tu as bien repéré les totaux identiques. Compare maintenant les chances favorables pour terminer.
Soustraire aussi les totaux pour trouver un écart entre des probabilités exprimées sur un même total.
Garde le total commun et cherche seulement la différence entre les nombres de chances favorables.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Comparer des probabilités permet de savoir quel évènement a le plus de chances de se produire. On s’en sert, par exemple, pour comparer les chances de tirer une bille d’une certaine couleur dans des sacs.
Le cours
La probabilité d’un évènement indique ses chances de se produire. Quand tous les résultats possibles ont la même chance d’être obtenus, on compte les résultats qui conviennent, appelés « chances favorables », et le nombre total de résultats possibles. On exprime alors la probabilité en disant : « nombre de chances favorables sur nombre total de chances ».
Avant de comparer, repère bien ce que l’on cherche à obtenir et le total des possibilités. Par exemple, pour tirer une bille rouge, les chances favorables correspondent au nombre de billes rouges et le total correspond au nombre de billes dans le sac. Les billes doivent avoir toutes la même chance d’être tirées.
Quand le total est le même, l’évènement qui a le plus de chances favorables est le plus probable. Celui qui a le moins de chances favorables est le moins probable.
Quand le nombre de chances favorables est le même, l’évènement dont le total est le plus petit est le plus probable. En effet, les chances favorables sont moins nombreuses à être mélangées avec des possibilités qui ne conviennent pas.
Si les chances favorables et le total sont identiques, les évènements ont la même probabilité. Pour justifier une comparaison, précise ce qui est identique, puis compare l’autre nombre. Attention : « plus probable » ne signifie pas « certain » ; l’évènement le moins probable peut tout de même se produire.
Des exemples
Dans le sac bleu, il y a 7 billes rouges parmi 18 billes. Dans le sac vert, il y a 11 billes rouges parmi 18 billes. Toutes les billes ont la même chance d’être tirées. Dans quel sac a-t-on le plus de chances de tirer une bille rouge ?
Le total est le même : 18 billes dans le sac bleu et 18 dans le sac vert. On compare donc les nombres de billes rouges : 11 est plus grand que 7. Tirer une bille rouge est plus probable dans le sac vert.
La boîte jaune contient 5 tickets gagnants sur 14 tickets. La boîte violette contient 5 tickets gagnants sur 23 tickets. Dans chaque boîte, tous les tickets ont la même chance d’être tirés. Quelle boîte offre le plus de chances de tirer un ticket gagnant ?
Le nombre de tickets gagnants est le même : 5 dans la boîte jaune et 5 dans la boîte violette. On compare donc les totaux. Comme 14 est plus petit que 23, les tickets gagnants sont mélangés avec moins de tickets perdants dans la boîte jaune. Tirer un ticket gagnant est donc plus probable dans la boîte jaune.
Le sac orange contient 6 jetons étoilés parmi 17 jetons. Le sac gris contient 6 jetons étoilés parmi 17 jetons. Tous les jetons ont la même chance d’être tirés. Compare les chances de tirer un jeton étoilé dans ces sacs.
Les nombres de chances favorables sont identiques : 6 et 6. Les totaux sont aussi identiques : 17 et 17. Tirer un jeton étoilé a donc la même probabilité dans chaque sac.
À retenir
- Repère les chances favorables et le total des possibilités.
- À total égal, plus de chances favorables signifie plus probable.
- À nombre de chances favorables égal, un total plus petit signifie plus probable.
- Mêmes chances favorables et même total : même probabilité.
- Justifie ton classement en précisant ce qui est identique et ce que tu compares.
- Plus probable ne veut pas dire certain.
Les mots de la leçon
- Probabilité
- Ce qui mesure les chances qu’un évènement se produise.
- Évènement
- Ce que l’on cherche à voir se produire, par exemple tirer une bille rouge.
- Chances favorables
- Résultats possibles qui correspondent à l’évènement recherché.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeDans un sac, chaque jeton a la même chance d’être tiré. Avoir cinq chances sur huit de tirer un jeton vert est plus probable qu’avoir trois chances sur huit : le total est le même, mais les chances favorables sont plus nombreuses. Avec trois chances favorables dans chaque sac, le sac contenant le moins de jetons donne la plus grande chance de gagner.
La boîte A contient quatre jetons gagnants parmi neuf jetons. La boîte B contient quatre jetons gagnants parmi quinze jetons. Tu tires un jeton sans regarder : quelle boîte te donne le plus de chances de gagner ?
- Je repère les chances favorables : quatre dans chaque boîte.Le nombre de jetons gagnants est le même. Je peux donc comparer les nombres totaux de jetons.
- Je compare les totaux : neuf est plus petit que quinze.Dans la boîte A, les jetons gagnants sont mélangés à moins de jetons perdants.
- Je choisis la boîte A : quatre chances sur neuf, c’est plus que quatre chances sur quinze.À nombre de chances favorables égal, le plus petit total donne la plus grande probabilité.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Comparer deux probabilités exprimées en chances sur un même total ou avec un même nombre de chances favorables, puis justifier le classement.
- Au programme
- CM2 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers