Mathématiques · CM2 · environ 15 min
Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Trace une droite avec des graduations entières régulièrement espacées. Partage chaque intervalle en autant de petites parts que l’indique le dénominateur. Depuis zéro, avance du nombre de petites parts indiqué par le numérateur. Lis l’entier juste avant ton point et celui juste après, puis écris : entier de gauche < fraction < entier de droite.
Cette méthode convient aux fractions positives non entières. Avec un grand numérateur ou un grand dénominateur, le dessin peut devenir long.
Prends des bandes de papier identiques représentant chacune une unité. Découpe-les en parts égales selon le dénominateur, puis prends autant de morceaux que l’indique le numérateur. Assemble le plus possible de bandes complètes. Leur nombre donne la borne inférieure ; une bande complète de plus donne la borne supérieure.
Tous les morceaux doivent avoir la même taille et provenir d’unités identiques. Pour cette compétence, il doit rester des morceaux après les assemblages.
Cherche deux multiples consécutifs du dénominateur qui entourent le numérateur. Le nombre de fois que tu as pris le dénominateur pour obtenir le plus petit multiple donne la borne inférieure. Le nombre suivant donne la borne supérieure. Tu peux trouver ces nombres avec une division euclidienne.
Le dénominateur doit être positif. Si le reste de la division est nul, la fraction est un entier : ce n’est pas le cas étudié ici.
Les pièges
Prendre le numérateur et le dénominateur comme bornes.
Cherche combien d’unités complètes tu peux former avec les morceaux.
Choisir deux entiers qui entourent la fraction mais ne se suivent pas.
Vérifie que la borne supérieure est exactement l’entier qui suit la borne inférieure.
Utiliser l’arrondi comme borne inférieure.
Compte seulement les unités complètes, puis prends l’entier suivant pour l’autre borne.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs permet de savoir entre quels nombres entiers elle se situe. C’est utile pour estimer une quantité et placer une fraction sur une droite graduée.
Le cours
Deux entiers consécutifs sont deux entiers qui se suivent, comme 4 et 5. Encadrer une fraction positive non entière entre deux entiers consécutifs, c’est trouver l’entier juste avant elle et l’entier juste après elle.
Le dénominateur indique en combien de parts égales l’unité est partagée. Pour trouver combien d’unités entières contient une fraction, on cherche combien de groupes complets du dénominateur on peut former avec le numérateur.
On peut utiliser les multiples du dénominateur. Pour encadrer 23/5, on cherche les multiples de 5 juste avant et juste après 23 : 5 × 4 = 20 et 5 × 5 = 25. Comme 20 < 23 < 25, on obtient : 4 < 23/5 < 5.
On peut aussi effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Pour 23/5, on a 23 = 5 × 4 + 3 : le quotient est 4 et il reste des parts. La fraction est donc plus grande que 4, mais plus petite que l’entier suivant, 5. On écrit la double inégalité dans l’ordre croissant : 4 < 23/5 < 5.
Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est comprise entre 0 et 1 : par exemple, 0 < 3/8 < 1. Si le reste de la division est nul, la fraction est égale à un entier : ce n’est pas le cas étudié ici, où la fraction est non entière.
Des exemples
Encadre la fraction 38/7 entre deux entiers consécutifs.
On effectue la division euclidienne de 38 par 7 : 5 reste 3. Le quotient indique le nombre d’unités entières contenues dans 38/7. Comme le reste n’est pas nul, la fraction se situe strictement entre ce quotient et l’entier qui le suit. On écrit le quotient à gauche, 38/7 au milieu et l’entier suivant à droite, avec le signe < de chaque côté.
Trouve les entiers consécutifs qui encadrent 19/6, puis écris la double inégalité.
La division euclidienne de 19 par 6 donne : 3 reste 1. Le quotient fournit la borne inférieure. Le reste montre que 19/6 dépasse cette borne sans atteindre l’entier suivant. Pour écrire l’encadrement, place donc 19/6 entre le quotient et l’entier suivant, avec les signes <.
Encadre 5/9 entre deux entiers consécutifs.
Le numérateur 5 est plus petit que le dénominateur 9 : la fraction ne contient aucune unité entière. La division euclidienne le confirme : 0 reste 5. Comme le reste n’est pas nul, 5/9 est strictement comprise entre le quotient et l’entier suivant. Ce sont les bornes à écrire de chaque côté de la fraction.
À retenir
- Les deux entiers de l’encadrement doivent se suivre.
- Cherche les multiples du dénominateur qui entourent le numérateur.
- Tu peux aussi diviser le numérateur par le dénominateur : le quotient donne l’entier inférieur.
- L’entier supérieur est l’entier qui suit le quotient.
- Écris l’encadrement du plus petit au plus grand : entier inférieur < fraction < entier supérieur.
- Une fraction positive dont le numérateur est plus petit que le dénominateur est comprise entre 0 et 1.
Les mots de la leçon
- Numérateur
- Nombre écrit au-dessus de la barre de fraction. Il indique le nombre de parts prises.
- Dénominateur
- Nombre écrit sous la barre de fraction. Il indique en combien de parts égales l’unité est partagée.
- Entiers consécutifs
- Nombres entiers qui se suivent, sans autre entier entre eux.
- Encadrement
- Écriture qui place un nombre entre une borne inférieure et une borne supérieure.
- Quotient
- Dans une division euclidienne, nombre de groupes complets que l’on peut former.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeUne fraction peut dépasser un entier sans atteindre le suivant. Par exemple, avec dix-sept morceaux qui valent chacun un cinquième d’unité, tu formes trois unités complètes et il reste des morceaux : trois < dix-sept cinquièmes < quatre.
Encadre dix-sept cinquièmes entre deux entiers consécutifs.
- Une unité contient cinq cinquièmes. Regroupe les dix-sept cinquièmes par paquets de cinq.Chaque paquet complet représente une unité entière.
- Tu obtiens trois paquets complets et deux cinquièmes supplémentaires.La fraction dépasse donc trois, mais les morceaux restants ne suffisent pas à former une quatrième unité.
- Écris : trois < dix-sept cinquièmes < quatre.Les deux bornes se suivent et la fraction se trouve strictement entre elles.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Trouver deux entiers consécutifs qui encadrent une fraction positive non entière et écrire la double inégalité correspondante.
- Au programme
- CM2 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers