Mathématiques · CM1 · environ 15 min
Construire une collection en échangeant des unités de numération
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine les unités avec des points, les dizaines avec des traits et les centaines avec des carrés. Entoure dix points, puis remplace ce groupe par un trait. Tu peux aussi entourer dix traits et les remplacer par un carré. Barre ce que tu remplaces pour ne pas le compter deux fois.
Cette méthode fonctionne si chaque symbole garde toujours la même valeur. Un carré ne représente pas simplement une pièce : il représente cent unités.
Construis d'abord le nombre demandé avec le matériel disponible. Pour obtenir une barre, dépose exactement dix cubes au comptoir et prends une barre. Pour obtenir une plaque, dépose exactement dix barres et prends une plaque. Ne garde pas les pièces déposées dans ta collection.
Les pièces doivent avoir une valeur connue. Compter seulement le nombre de pièces ne permet pas de connaître la quantité représentée.
Pour vérifier une construction, cherche ce que vaut chaque famille de pièces : les plaques valent des centaines d'unités, les barres des dizaines d'unités et les cubes des unités. Réunis ces valeurs et compare-les au nombre demandé. Après un échange, refais cette vérification : la valeur totale doit être conservée, même si le nombre de pièces change.
Ne mélange pas les unités de numération dans ton calcul : exprime toutes les valeurs en unités avant de les réunir.
Les pièges
Compter toutes les pièces comme si elles avaient la même valeur.
Montre chaque sorte de pièce et rappelle sa valeur. Compte ensuite ce qu'elles représentent, pas seulement les objets que tu vois.
Garder les pièces utilisées pour obtenir une nouvelle pièce.
Mets les pièces à échanger à part, puis prends leur remplacement. Vérifie que tu n'as pas gardé les deux représentations du même groupe.
Échanger un groupe incomplet ou s'arrêter alors qu'un échange reste possible.
Fais des groupes de dix. Échange seulement les groupes complets et garde les pièces restantes. Si tu cherches le moins de pièces possible, vérifie aussi les dizaines.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Le matériel de numération permet de représenter un nombre avec des cubes, des barres et des plaques. On peut ensuite échanger des pièces pour organiser la collection autrement, sans changer la quantité représentée.
Le cours
Un petit cube vaut une unité. Une barre de dizaine vaut 10 unités. Une plaque de centaine vaut 100 unités, c’est-à-dire 10 dizaines. Pour connaître la quantité représentée, on compte la valeur de chaque pièce, et pas seulement le nombre de pièces.
Pour construire une collection correspondant à un nombre donné, repère ses centaines, ses dizaines et ses unités. Prends les plaques, les barres et les cubes nécessaires. Si un chiffre est zéro, tu ne prends aucune pièce de cette sorte. Vérifie ensuite que la somme des valeurs des pièces correspond au nombre demandé.
Pour regrouper les unités, remplace chaque groupe de 10 cubes par une barre de dizaine. Retire les cubes échangés : tu ne dois pas garder à la fois les cubes et la barre qui les remplace. Continue tant qu’il reste au moins 10 cubes.
Pour regrouper les dizaines, remplace chaque groupe de 10 barres par une plaque de centaine. Continue tant qu’il reste au moins 10 barres. Après tous les regroupements, il reste moins de 10 cubes seuls et moins de 10 barres.
On peut aussi faire les échanges dans l’autre sens : remplacer une centaine par 10 dizaines, ou une dizaine par 10 unités. Dans tous les cas, la quantité représentée, appelée cardinal de la collection, ne change pas. Pour vérifier un échange, compare la valeur totale avant et après.
Des exemples
Construis une collection représentant 300 unités, puis ajoute 58 unités. Quelle quantité ta collection représente-t-elle ? Organise-la ensuite avec des plaques de centaine, des barres de dizaine et des cubes.
La quantité totale est 300 + 58 = 358 unités. Pour construire la collection, tu peux d’abord utiliser des cubes. Remplace ensuite les groupes complets de cubes par des barres de dizaine, puis les groupes complets de barres par des plaques de centaine. Tu peux aussi prendre directement les plaques, les barres et les cubes indiqués par les chiffres de 358. La quantité représentée reste la même.
Construis une collection de 80 unités avec des cubes. Échange tous les cubes contre des barres de dizaine. Combien de dizaines obtiens-tu ?
Forme des paquets de cubes ayant chacun la valeur d’une dizaine. Remplace chaque paquet par une barre et retire les cubes échangés. Tu obtiens 8 dizaines, qui représentent toujours 80 unités. Il ne reste aucun cube seul.
Construis une collection de 60 dizaines avec des barres. Échange toutes les barres contre des plaques de centaine. Combien de centaines obtiens-tu ?
Forme des paquets de barres ayant chacun la valeur d’une centaine. Remplace chaque paquet par une plaque et retire les barres échangées. Tu obtiens 6 centaines. Ces plaques représentent exactement la même quantité que les 60 dizaines de départ.
À retenir
- Une dizaine vaut 10 unités.
- Une centaine vaut 10 dizaines, soit 100 unités.
- Pour construire une collection, utilise les centaines, les dizaines et les unités du nombre demandé.
- Échanger, c’est remplacer des pièces par d’autres de même valeur totale.
- Retire toujours les pièces que tu échanges.
- Après un échange, la quantité représentée ne change pas.
Les mots de la leçon
- Cardinal
- Nombre qui indique la quantité totale représentée par une collection.
- Unité de numération
- Unité utilisée pour représenter un nombre : unité simple, dizaine, centaine… Une dizaine vaut 10 unités simples et une centaine vaut 10 dizaines.
- Échange
- Remplacement de pièces par d’autres pièces qui représentent exactement la même quantité.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeAvec le matériel de numération, un petit cube vaut une unité, une barre vaut dix unités et une plaque vaut cent unités. Tu peux remplacer dix cubes par une barre, ou dix barres par une plaque : la quantité représentée reste la même.
Construis une collection de 243 unités avec des plaques, des barres et des cubes. Puis trouve une autre organisation en échangeant une plaque.
- Prépare deux plaques, quatre barres et trois cubes.Les plaques représentent les centaines, les barres représentent les dizaines et les cubes représentent les unités du nombre demandé.
- Retire une plaque et mets dix barres à sa place.Une centaine vaut dix dizaines : tu remplaces exactement ce que tu as retiré.
- Garde les autres pièces et rassemble les barres.Tu as changé l'organisation du matériel, mais tu n'as ni ajouté ni retiré d'unités à la collection.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Construire une collection correspondant à un cardinal donné avec du matériel de numération, puis modifier son organisation par des échanges de dix unités contre une dizaine ou de dix dizaines contre une centaine, sans changer son cardinal.
- Au programme
- CM1 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 15 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers