Mathématiques · CM1 · environ 10 min
Permuter les facteurs en explicitant la commutativité
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine des points bien alignés : 3 rangées de 7 points. Tourne ta feuille pour voir 7 rangées de 3 points. Tu n’as ajouté ni retiré aucun point : 3 × 7 = 7 × 3. Ce changement de point de vue montre la commutativité de la multiplication.
Le dessin doit garder tous ses points. Cette méthode devient moins pratique quand les facteurs sont grands.
Prépare 4 petits groupes de 6 jetons. Prends un jeton dans chaque groupe pour former un nouveau groupe, puis recommence jusqu’à avoir déplacé tous les jetons. Tu obtiens 6 groupes de 4 jetons. Comme aucun jeton n’a été ajouté ou retiré, 4 × 6 = 6 × 4 : c’est la commutativité de la multiplication.
Il faut déplacer tous les jetons, sans en oublier ni en compter un plusieurs fois. Utilise plutôt un dessin pour de grandes quantités.
Devant 7 × 5, demande-toi si tu préfères compter de 5 en 5. Tu peux écrire 5 × 7 et penser à sept fois 5. Tu choisis une écriture plus pratique, puis tu justifies : « J’ai échangé les facteurs ; le résultat reste identique grâce à la commutativité de la multiplication. »
Tu changes seulement l’ordre des facteurs, pas leur valeur ni le signe de l’opération. Cette propriété ne permet pas d’échanger les nombres dans une soustraction ou une division.
Les pièges
Changer le signe en échangeant les facteurs.
Garde le signe × et retrouve les deux mêmes facteurs, chacun à sa nouvelle place.
Répéter un facteur et oublier l’autre.
Compare les deux écritures : chaque facteur du départ doit apparaître une fois dans le nouveau produit.
Dire que l’on peut échanger les nombres dans toutes les opérations.
Ici, tu utilises la commutativité de la multiplication. Dans une soustraction ou une division, échanger les nombres peut changer le résultat.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Dans une multiplication, tu peux échanger la place des facteurs sans changer le résultat. Cela sert à choisir l’ordre qui rend le calcul plus facile, par exemple pour utiliser une table que tu connais bien.
Le cours
Les nombres que l’on multiplie s’appellent les facteurs. Le résultat d’une multiplication s’appelle le produit. Échanger les deux facteurs ne change pas le produit : cette propriété s’appelle la commutativité de la multiplication.
Pour comprendre cette propriété, imagine des jetons disposés en lignes et en colonnes. Tu peux compter le total en multipliant le nombre de lignes par le nombre de jetons dans chaque ligne, ou le nombre de colonnes par le nombre de jetons dans chaque colonne. Ce sont les mêmes jetons : le total reste donc identique.
Pour faciliter un calcul, repère les deux facteurs, puis écris une multiplication en échangeant leur place. Garde exactement les mêmes facteurs et le signe de multiplication. Choisis ensuite l’ordre qui te permet de trouver le résultat le plus facilement.
Quand tu échanges les facteurs, explique pourquoi tu peux le faire : « J’utilise la commutativité de la multiplication : échanger les facteurs ne change pas le produit. » Cette propriété concerne la multiplication ; on ne peut pas l’appliquer à la soustraction ou à la division.
Des exemples
Réécris 13 × 4 en échangeant les facteurs, puis calcule.
13 × 4 = 4 × 13. Si tu connais mieux la table de 4, tu peux utiliser cet ordre pour calculer. J’utilise la commutativité de la multiplication : échanger les facteurs ne change pas le produit. Les deux écritures donnent 52.
Des jetons sont disposés en 6 lignes de 12 jetons. Écris le produit qui permet de les compter, puis échange ses facteurs.
En comptant par lignes, on écrit 6 × 12. On peut aussi voir 12 colonnes de 6 jetons et écrire 12 × 6. J’utilise la commutativité de la multiplication : les facteurs sont échangés, mais on compte toujours les mêmes jetons. Le total est 72.
Pour calculer 24 × 2, place le plus petit facteur en premier et explique pourquoi le résultat ne change pas.
J’écris 24 × 2 = 2 × 24. Calculer 2 fois 24 peut être plus simple : je peux additionner 24 et 24. J’utilise la commutativité de la multiplication, donc le produit reste identique. Le résultat est 48.
À retenir
- Les facteurs sont les nombres que l’on multiplie.
- Échanger les facteurs ne change pas le produit.
- Cette propriété s’appelle la commutativité de la multiplication.
- Choisis l’ordre des facteurs qui facilite ton calcul.
- Explique que le produit reste identique grâce à la commutativité.
Les mots de la leçon
- Facteur
- Nombre que l’on multiplie par un autre dans une multiplication.
- Produit
- Résultat d’une multiplication.
- Commutativité de la multiplication
- Propriété qui permet d’échanger la place des facteurs sans changer le produit.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardePour calculer 3 × 8, tu peux préférer penser à 8 × 3 : les deux produits donnent le même résultat. Échanger les deux facteurs sans changer le résultat, c’est utiliser la commutativité de la multiplication.
Réécris 4 × 25 pour commencer par 25 et explique pourquoi le résultat ne change pas.
- Je repère les deux facteurs : 4 et 25.Ce sont les nombres multipliés.
- J’échange leur place : 4 × 25 = 25 × 4.La multiplication est commutative : échanger les facteurs ne change pas le résultat.
- Je garde 25 × 4 si cette écriture m’aide davantage à calculer.Je peux choisir l’ordre qui me semble le plus facile, sans modifier les nombres.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Réécrire un produit en échangeant ses deux facteurs pour faciliter le calcul et expliquer que le résultat reste identique grâce à la commutativité de la multiplication.
- Au programme
- CM1 · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers