Mathématiques · 6e · environ 10 min
Calculer une distance réelle à partir d’un plan
Explique-moi autrement
Choisis une façon de comprendre. Tu peux toutes les essayer, dans l'ordre que tu veux.
Dessine un segment pour le plan et partage-le en morceaux d’un centimètre. Sous chaque morceau, écris la distance réelle représentée par un centimètre. Une longueur de trois centimètres contient trois morceaux : la distance réelle contient donc trois fois la distance indiquée sous un morceau.
Ce dessin est pratique pour des longueurs entières et assez petites. Pour une longueur décimale, utilise plutôt un calcul.
Découpe une bande de papier longue d’un centimètre. Écris dessus la distance réelle représentée par un centimètre du plan. Reporte cette bande le long du trajet droit mesuré. À chaque report, ajoute la distance réelle inscrite sur la bande.
Les reports peuvent manquer de précision. Cette manipulation aide à comprendre, mais le calcul est préférable pour donner une réponse exacte, surtout si la bande ne tient pas un nombre entier de fois.
À l’échelle 1/500, les longueurs réelles sont 500 fois les longueurs du plan, dans la même unité. Commence donc par multiplier la mesure du plan par 500. Ensuite seulement, change d’unité si nécessaire. Pour passer des centimètres aux mètres, divise par 100 : ces deux calculs n’ont pas le même rôle.
Cette règle de multiplication directe s’applique à une échelle écrite sous la forme 1/n. Si l’échelle donne déjà des mètres pour chaque centimètre, ne refais pas une conversion inutile.
Les pièges
Diviser par le nombre de l’échelle pour passer du plan à la réalité.
Repère le sens du passage : tu pars du petit dessin pour retrouver la réalité. À l’échelle 1/n, multiplie la longueur du plan par n.
Lire une échelle comme si elle reliait directement des centimètres à des mètres.
Écris d’abord ce que représente un centimètre du plan en centimètres réels. Tu pourras ensuite convertir en mètres.
Donner une valeur avec une unité qui ne correspond pas au calcul.
Note l’unité après chaque calcul. Compare l’unité de ta dernière ligne à celle demandée dans la question.
Je me teste
2 questions nouvelles, sans aide. Tu vois la correction à la fin.
La leçon écriteLe cours complet, des exemples, « À retenir » à imprimer
La leçon
Ce qu'il faut savoir
Un plan représente un lieu en plus petit tout en conservant les proportions. Grâce à son échelle, tu peux calculer la distance réelle entre deux lieux, par exemple la longueur d’une rue ou la distance entre une école et un stade.
Le cours
L’échelle indique le rapport entre les longueurs sur le plan et les longueurs réelles, exprimées dans la même unité. À l’échelle 1 : 1 000, que l’on peut aussi écrire 1/1 000, 1 cm sur le plan représente 1 000 cm dans la réalité, soit 10 m.
Les distances sur le plan et les distances réelles sont proportionnelles : si une distance sur le plan est multipliée par un nombre, la distance réelle correspondante est multipliée par ce même nombre. On peut organiser ces distances dans un tableau, avec une ligne pour le plan et une ligne pour la réalité, en précisant les unités.
Pour calculer une distance réelle, repère d’abord ce que représente un centimètre sur le plan. Multiplie ensuite la distance mesurée en centimètres par la distance réelle correspondant à un centimètre. Par exemple, si 1 cm représente 10 m, une longueur de 4 cm représente 4 × 10 m, soit 40 m.
Avec une échelle écrite 1 : n, on multiplie la distance sur le plan par n pour obtenir la distance réelle dans la même unité. On convertit ensuite le résultat dans l’unité demandée. Par exemple, à l’échelle 1 : 2 000, une longueur de 3 cm représente 6 000 cm, soit 60 m. Rappelle-toi : 1 m = 100 cm et 1 km = 1 000 m.
Avant de calculer, lis bien l’unité de la mesure et celle de la réponse attendue. Tu peux convertir la distance correspondant à un centimètre avant la multiplication pour obtenir directement le résultat dans l’unité demandée. Si tu mesures toi-même sur le plan, utilise une règle graduée et vérifie que le plan n’a pas été agrandi ou réduit à l’impression.
Des exemples
Un plan est à l’échelle un pour 600. La distance entre une fontaine et une entrée mesure 9 cm sur ce plan. Quelle est la distance réelle en centimètres ?
À cette échelle, chaque centimètre du plan représente 600 cm dans la réalité. On multiplie donc la distance mesurée par 600 : 9 × 600 = 5400. La distance réelle est de 5400 cm.
Sur le plan d’un parc, chaque centimètre représente 40 m. Un chemin mesure 5,5 cm sur le plan. Quelle est sa longueur réelle en mètres ?
La distance réelle correspondant à chaque centimètre est déjà donnée en mètres. On calcule 5,5 × 40 = 220. Le chemin mesure donc 220 m dans la réalité.
Sur un plan, chaque centimètre représente 0,3 km. Deux villages sont séparés par 8 cm sur le plan. Quelle est la distance réelle entre ces villages en kilomètres ?
La correspondance est exprimée en kilomètres, qui est l’unité demandée. On multiplie la longueur sur le plan par la distance représentée par chaque centimètre : 8 × 0,3 = 12/5. Les villages sont séparés par 12/5 km.
À retenir
- L’échelle relie les longueurs du plan aux longueurs réelles.
- Les distances sur le plan et les distances réelles sont proportionnelles.
- À l’échelle 1 : n, on multiplie la distance du plan par n, en gardant la même unité.
- On peut aussi multiplier la mesure en centimètres par la distance réelle représentée par un centimètre.
- Convertis si nécessaire et écris toujours l’unité de la réponse.
- 1 m = 100 cm ; 1 km = 1 000 m.
Les mots de la leçon
- Échelle
- Rapport entre une longueur sur un plan et la longueur réelle correspondante, lorsque ces deux longueurs sont exprimées dans la même unité.
- Distance réelle
- Distance dans la réalité, par opposition à la distance mesurée sur le plan.
- Proportionnalité
- Relation entre deux séries de nombres dans laquelle on passe de chaque nombre de la première série au nombre correspondant de la seconde en multipliant toujours par un même nombre.
Exemples résolusDes exercices faits devant toi, étape par étape
RegardeSur un plan, les distances sont réduites : chaque centimètre représente une distance réelle plus grande. Si chaque centimètre représente 20 mètres, une longueur de 3 centimètres représente 3 × 20 mètres. Avant de répondre, vérifie l’unité demandée.
Un plan est à l’échelle 1/2 000. Le chemin entre deux bâtiments mesure 4 cm sur ce plan. Quelle est sa longueur réelle en mètres ?
- Lis l’échelle : chaque centimètre sur le plan représente 2 000 cm dans la réalité.Les deux longueurs utilisées pour écrire une échelle sont exprimées dans la même unité.
- Écris la distance réelle en centimètres : 4 × 2 000 cm.Le chemin contient quatre longueurs d’un centimètre sur le plan.
- Pour obtenir des mètres, écris : (4 × 2 000) ÷ 100 m.Un mètre contient 100 centimètres. Il faut donc diviser la longueur en centimètres par 100.
Pour les parentsCe que votre enfant apprend, le programme, comment l'aider
- Ce que votre enfant apprend
- Calculer une distance réelle à partir d’une distance mesurée sur un plan et d’une échelle simple donnée, en exprimant le résultat dans l’unité demandée.
- Au programme
- 6e · BO n°16 du 17 avril 2025, MENE2504620A (cycle 3, CM1/CM2/6e, français ET mathématiques) Voir la source officielle
- Combien de temps
- Environ 10 minutes, en une fois ou en plusieurs.
Comment l'accompagner
- Laissez-le commencer par manipuler : la règle vient après, en une ou deux lignes.
- Le petit test se fait sans aide. La correction arrive à la fin, sans note.
- Si une explication ne passe pas, proposez-en une autre plutôt que de répéter la même.
Les réglages « Ma façon » reprennent des adaptations recommandées par l'Éducation nationale pour les élèves à besoins éducatifs particuliers, comme les troubles dys ou le TDAH. Éduscol : élèves à besoins éducatifs particuliers