Comparer des aires sans les mesurer

Comparer des aires, c’est chercher quelle surface occupe le plus de place, ou vérifier si des surfaces occupent autant de place. On peut le faire sans mesurer, en superposant les surfaces ou en les découpant pour déplacer leurs morceaux.

Le cours

1. L’aire est la grandeur qui décrit l’étendue d’une surface. Pour comparer des aires sans les mesurer, on cherche à montrer qu’une surface recouvre exactement une autre surface, ou qu’elle peut être placée entièrement à l’intérieur de l’autre.

2. Par superposition, on place une surface sur l’autre. On peut la faire glisser, la tourner ou la retourner, mais pas l’étirer ni la déformer. Si les surfaces se recouvrent exactement, leurs aires sont égales. Si une surface est entièrement contenue dans l’autre et qu’une partie de cette dernière reste découverte, son aire est inférieure à celle de l’autre.

3. Par découpage et recollement, on découpe une surface, puis on déplace ses morceaux pour former une nouvelle surface. L’aire est conservée si l’on utilise tous les morceaux, sans en ajouter ni en enlever, sans les superposer et sans laisser de trou entre eux.

4. Après le recollement, on compare la surface obtenue à l’autre par superposition. Si elles se recouvrent exactement, les surfaces de départ ont la même aire. Si la surface recomposée est entièrement contenue dans l’autre et laisse une partie découverte, son aire est inférieure à celle de l’autre.

5. L’apparence seule ne suffit pas pour conclure : une surface plus allongée n’a pas forcément une aire plus grande. Si une superposition laisse dépasser une partie de chaque surface, elle ne permet pas de conclure directement : il faut essayer un autre placement ou un découpage. Pour justifier la comparaison, on décrit le recouvrement obtenu.

Des exemples

• Une surface A est découpée en 7 grandes pièces et 4 petites pièces. En déplaçant toutes ces pièces, sans les déformer, on recouvre exactement une surface B, sans trou ni chevauchement. Compare les aires de A et de B.

  Les 11 pièces de A sont toutes utilisées pour recouvrir exactement B. Le découpage et le déplacement des pièces conservent l’aire : A et B ont donc la même aire, même si leurs formes sont différentes. Le nombre de pièces sert seulement à vérifier qu’elles sont toutes utilisées ; on ne calcule aucune aire.

• Une surface B est découpée en 13 pièces. Parmi elles, 9 pièces recouvrent exactement une surface A, sans trou ni chevauchement. Les autres pièces restent à côté. Compare les aires de A et de B.

  Les pièces qui recouvrent A ne représentent qu’une partie de B : il reste 4 pièces non utilisées, qui occupent encore de la place. L’aire de A est donc inférieure à celle de B. On peut aussi dire que l’aire de B est supérieure à celle de A. On a compté des pièces, sans mesurer ni calculer les aires.