Ranger ensemble des fractions et des nombres mixtes

Ranger des fractions et des nombres mixtes permet de comparer des mesures, des durées ou des quantités écrites de façons différentes. Pour les mettre dans l’ordre, on commence par choisir une écriture qui facilite leur comparaison.

Le cours

1. Ranger des nombres dans l’ordre croissant, c’est les écrire du plus petit au plus grand, avec le signe < entre deux nombres différents. Dans l’ordre décroissant, on les écrit du plus grand au plus petit, avec le signe >. Si deux écritures représentent le même nombre, on utilise le signe =.

2. Un nombre mixte est écrit comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. Par exemple, 2 + 3/5 est compris entre 2 et 3. Pour transformer une fraction en nombre mixte, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : le quotient donne la partie entière et le reste donne le numérateur de la fraction restante. Ainsi, 13/5 = 2 + 3/5. Si le reste est nul, la fraction représente un entier.

3. Pour comparer des nombres mixtes, on compare d’abord leurs parties entières : celui dont la partie entière est la plus petite est le plus petit. Si les parties entières sont égales, on compare les fractions restantes. Quand les dénominateurs sont identiques, la fraction qui a le plus petit numérateur est la plus petite. Sinon, on écrit les fractions avec un même dénominateur, en multipliant le numérateur et le dénominateur de chacune par un même nombre non nul.

4. On peut aussi transformer tous les nombres mixtes en fractions. Pour écrire 3 + 2/7 sous la forme d’une fraction, on calcule (3 × 7 + 2)/7, soit 23/7 : on multiplie la partie entière par le dénominateur, puis on ajoute le numérateur. On conserve le dénominateur. On peut ensuite mettre toutes les fractions au même dénominateur et comparer leurs numérateurs.

5. Pour ranger une liste entière, on choisit la méthode la plus pratique : comparer les parties entières, ou tout écrire sous forme de fractions de même dénominateur. On repère le plus petit nombre, puis le plus petit parmi ceux qui restent, jusqu’à avoir placé toute la liste. À la fin, on vérifie chaque paire de voisins et on conserve les écritures demandées dans l’énoncé.

Des exemples

• Range dans l’ordre croissant les fractions 31/9 et 23/6.

  On peut prendre comme dénominateur commun 9 × 6. Les numérateurs à comparer sont alors 31 × 6 et 23 × 9. Le premier produit est le plus petit. La comparaison donne <. L’ordre croissant est donc : 31/9 < 23/6.

• Range dans l’ordre croissant la fraction 41/6 et le nombre mixte (6 + 6/8).

  On transforme le nombre mixte en fraction : 6 + 6/8 = (6 × 8 + 6)/8 = 54/8. On compare ensuite 41/6 et 54/8 en les mettant au même dénominateur. La comparaison donne >. L’ordre croissant, avec les écritures de départ, est donc : (6 + 6/8) < 41/6.