Identifier la nature du nombre représenté par une fraction

Une fraction peut représenter plusieurs sortes de nombres. Reconnaître la nature de ce nombre permet de savoir si l’on peut l’écrire exactement comme un entier ou avec une écriture décimale qui s’arrête.

Le cours

1. Une fraction a/b représente le quotient de a par b : c’est le nombre obtenu en divisant le numérateur a par le dénominateur b. Dans cette leçon, a et b sont des nombres entiers et b est différent de zéro.

2. Une fraction représente un nombre entier lorsque son numérateur est un multiple de son dénominateur. La division tombe alors juste, avec un reste nul. Par exemple, 6/3 = 2 : cette fraction représente un entier.

3. Une fraction représente un nombre décimal non entier lorsque son résultat n’est pas entier et que son écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule. Par exemple, 3/4 = 0,75 : cette fraction représente un décimal non entier. Un entier est aussi un nombre décimal, car on peut l’écrire avec une virgule et des zéros, comme 2 = 2,0. Pour le classement demandé, on le range dans la catégorie « entier ».

4. Une fraction représente un nombre non décimal lorsqu’aucune écriture décimale finie ne donne sa valeur exacte. Par exemple, 1/3 = 0,333… : le chiffre 3 se répète sans fin. La valeur 0,33 est seulement une approximation de 1/3, pas sa valeur exacte.

5. Pour classer une fraction, commence par diviser son numérateur par son dénominateur. Si le reste est nul dès la division entière, le nombre est entier. Sinon, poursuis la division après la virgule : si le reste devient nul, le nombre est décimal non entier ; si un même reste non nul réapparaît, les chiffres vont se répéter sans fin et le nombre est non décimal. L’affichage d’une calculatrice ne suffit pas toujours pour conclure, car il peut être arrondi.

Des exemples

• Classe la fraction 35/7 : représente-t-elle un entier, un décimal non entier ou un nombre non décimal ?

  Dans la division de 35 par 7, le reste est nul. Le numérateur est donc un multiple du dénominateur : la fraction 35/7 représente un entier.

• Classe la fraction 9/8 : représente-t-elle un entier, un décimal non entier ou un nombre non décimal ?

  La division entière de 9 par 8 laisse un reste non nul : le nombre n’est pas entier. En poursuivant la division après la virgule, on finit par obtenir un reste nul. L’écriture décimale s’arrête : la fraction 9/8 représente un décimal non entier.

• Classe la fraction 11/6 : représente-t-elle un entier, un décimal non entier ou un nombre non décimal ?

  La division entière de 11 par 6 laisse un reste non nul. En poursuivant après la virgule, un même reste non nul réapparaît : le même chiffre se répète alors sans fin. La fraction 11/6 représente donc un nombre non décimal.