Effectuer des opérations simples sur les fractions

Les opérations sur les fractions servent à réunir des quantités, à calculer ce qu’il reste ou à répéter une même quantité. On les utilise, par exemple, pour additionner des longueurs ou adapter les quantités d’une recette.

Le cours

1. Dans une fraction, le dénominateur indique en combien de parts égales l’unité est partagée, et le numérateur indique combien de ces parts on prend. Le dénominateur ne peut pas être nul. Pour additionner ou soustraire des fractions, les parts doivent avoir la même taille : les fractions doivent donc avoir le même dénominateur.

2. Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne leurs numérateurs et on garde le dénominateur commun. Pour les soustraire, on soustrait le numérateur de la seconde fraction à celui de la première et on garde le dénominateur commun. On ne doit ni additionner ni soustraire les dénominateurs : la taille des parts ne change pas.

3. Si les dénominateurs sont différents et que l’un est un multiple de l’autre, on choisit le plus grand comme dénominateur commun. Pour cela, on cherche par quel nombre multiplier le plus petit dénominateur pour obtenir le plus grand. Il faut alors multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par ce même nombre : sa valeur ne change pas. On peut ensuite additionner ou soustraire les numérateurs, en gardant le dénominateur commun.

4. Multiplier une fraction par un nombre entier revient à additionner cette fraction autant de fois que l’indique l’entier. Pour calculer directement, on multiplie le numérateur par l’entier et on garde le dénominateur. La règle est la même si l’entier est écrit avant la fraction. Si l’entier est zéro, le produit est nul.

5. À la fin du calcul, on simplifie le résultat lorsque c’est possible : on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre entier supérieur à un. Cela ne change pas la valeur de la fraction. Si le numérateur est un multiple du dénominateur, le résultat peut s’écrire sous la forme d’un nombre entier.

Des exemples

• Calcule 3/11 + 5/11.

  Les dénominateurs sont identiques : 11 et 11. On additionne les numérateurs, 3 et 5, et on garde le dénominateur commun. On obtient 8/11.

• Calcule 13/17 − 6/17.

  Les fractions ont le même dénominateur. On soustrait 6 de 13 et on garde 17 comme dénominateur. Le résultat est 7/17.

• Calcule 7/8 − 3/16.

  Le dénominateur de 3/16 est un multiple de celui de 7/8. On choisit donc le dénominateur de 3/16 comme dénominateur commun. Pour réécrire 7/8, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre, celui qui permet de passer du petit dénominateur au grand. On soustrait ensuite les numérateurs en gardant ce dénominateur commun. On obtient 11/16.

• Calcule 4/9 × 6.

  On multiplie le numérateur de 4/9 par 6 et on garde le dénominateur de 4/9. On simplifie ensuite la fraction obtenue en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre. Le résultat est 8/3.